Theorem hst1ht 10064

Description: The norm of a Hilbert-space-valued state equals one iff the state value equals the state value of the lattice unit.

Assertion

Ref	Expression
hst1ht	|- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A)) = 1 <-> (S` A) = (S` H~)))

Proof of Theorem hst1ht

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hstclt 10054	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((S e. CHStates /\ (_|_` A) e. CH) -> (S` (_|_` A)) e. H~)
2		chocclt 9100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. CH -> (_|_` A) e. CH)
3	1, 2	sylan2 451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (S` (_|_` A)) e. H~)
4		normclt 8912	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((S` (_|_` A)) e. H~ -> (normh` (S` (_|_` A))) e. RR)
5	3, 4	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (normh` (S` (_|_` A))) e. RR)
6		resqclt 6552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((normh` (S` (_|_` A))) e. RR -> ((normh` (S` (_|_` A)))^2) e. RR)
7	5, 6	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` (_|_` A)))^2) e. RR)
8	7	recnd 5287	. . . . . . . . . . 11 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` (_|_` A)))^2) e. CC)
9		ax1cn 5241	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
10		pncan2t 5370	. . . . . . . . . . . 12 |- ((1 e. CC /\ ((normh` (S` (_|_` A)))^2) e. CC) -> ((1 + ((normh` (S` (_|_` A)))^2)) - 1) = ((normh` (S` (_|_` A)))^2))
11	9, 10	mpan 693	. . . . . . . . . . 11 |- (((normh` (S` (_|_` A)))^2) e. CC -> ((1 + ((normh` (S` (_|_` A)))^2)) - 1) = ((normh` (S` (_|_` A)))^2))
12	8, 11	syl 10	. . . . . . . . . 10 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((1 + ((normh` (S` (_|_` A)))^2)) - 1) = ((normh` (S` (_|_` A)))^2))
13	12	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> ((1 + ((normh` (S` (_|_` A)))^2)) - 1) = ((normh` (S` (_|_` A)))^2))
14		opreq1 3953	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((normh` (S` A)) = 1 -> ((normh` (S` A))^2) = (1^2))
15		sq1 6568	. . . . . . . . . . . . 13 |- (1^2) = 1
16	14, 15	syl6req 1516	. . . . . . . . . . . 12 |- ((normh` (S` A)) = 1 -> 1 = ((normh` (S` A))^2))
17	16	opreq1d 3960	. . . . . . . . . . 11 |- ((normh` (S` A)) = 1 -> (1 + ((normh` (S` (_|_` A)))^2)) = (((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` A)))^2)))
18		hstnmoct 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (((normh` (S` A))^2) + ((normh` (S` (_|_` A)))^2)) = 1)
19	17, 18	sylan9eqr 1521	. . . . . . . . . 10 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> (1 + ((normh` (S` (_|_` A)))^2)) = 1)
20	19	opreq1d 3960	. . . . . . . . 9 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> ((1 + ((normh` (S` (_|_` A)))^2)) - 1) = (1 - 1))
21	13, 20	eqtr3d 1501	. . . . . . . 8 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> ((normh` (S` (_|_` A)))^2) = (1 - 1))
22	9	subid 5363	. . . . . . . 8 |- (1 - 1) = 0
23	21, 22	syl6eq 1515	. . . . . . 7 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> ((normh` (S` (_|_` A)))^2) = 0)
24	23	ex 373	. . . . . 6 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A)) = 1 -> ((normh` (S` (_|_` A)))^2) = 0))
25	5	recnd 5287	. . . . . . . 8 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (normh` (S` (_|_` A))) e. CC)
26		sq0t 6550	. . . . . . . 8 |- ((normh` (S` (_|_` A))) e. CC -> (((normh` (S` (_|_` A)))^2) = 0 <-> (normh` (S` (_|_` A))) = 0))
27	25, 26	syl 10	. . . . . . 7 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (((normh` (S` (_|_` A)))^2) = 0 <-> (normh` (S` (_|_` A))) = 0))
28		norm-it 8917	. . . . . . . 8 |- ((S` (_|_` A)) e. H~ -> ((normh` (S` (_|_` A))) = 0 <-> (S` (_|_` A)) = 0h))
29	3, 28	syl 10	. . . . . . 7 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` (_|_` A))) = 0 <-> (S` (_|_` A)) = 0h))
30	27, 29	bitrd 526	. . . . . 6 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (((normh` (S` (_|_` A)))^2) = 0 <-> (S` (_|_` A)) = 0h))
31	24, 30	sylibd 202	. . . . 5 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A)) = 1 -> (S` (_|_` A)) = 0h))
32	31	imp 350	. . . 4 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> (S` (_|_` A)) = 0h)
33	32	opreq2d 3961	. . 3 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> ((S` A) +h (S` (_|_` A))) = ((S` A) +h 0h))
34		hstoct 10059	. . . 4 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((S` A) +h (S` (_|_` A))) = (S` H~))
35	34	adantr 389	. . 3 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> ((S` A) +h (S` (_|_` A))) = (S` H~))
36		hstclt 10054	. . . . 5 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (S` A) e. H~)
37		ax-hvaddid 8795	. . . . 5 |- ((S` A) e. H~ -> ((S` A) +h 0h) = (S` A))
38	36, 37	syl 10	. . . 4 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((S` A) +h 0h) = (S` A))
39	38	adantr 389	. . 3 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> ((S` A) +h 0h) = (S` A))
40	33, 35, 39	3eqtr3rd 1508	. 2 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (normh` (S` A)) = 1) -> (S` A) = (S` H~))
41		fveq2 3709	. . 3 |- ((S` A) = (S` H~) -> (normh` (S` A)) = (normh` (S` H~)))
42		hst1t 10055	. . . 4 |- (S e. CHStates -> (normh` (S` H~)) = 1)
43	42	adantr 389	. . 3 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> (normh` (S` H~)) = 1)
44	41, 43	sylan9eqr 1521	. 2 |- (((S e. CHStates /\ A e. CH) /\ (S` A) = (S` H~)) -> (normh` (S` A)) = 1)
45	40, 44	impbida 517	1 |- ((S e. CHStates /\ A e. CH) -> ((normh` (S` A)) = 1 <-> (S` A) = (S` H~)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  RRcr 5205  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   - cmin 5264  2c2 5908  ^cexp 6500  H~chil 8727   +h cva 8728  0hc0v 8730  normhcno 8733  CHcch 8737  _|_cort 8738  CHStateschst 8771

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873  ax-hcompl 8992

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-r1 4615  df-rank 4616  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus