Theorem hosvaltOLD 9517

Description: Value of the sum of two Hilbert space operators.

Assertion

Ref	Expression
hosvaltOLD	|- (((S:H~-->H~ /\ T:H~-->H~) /\ A e. H~) -> ((S +op T)` A) = ((S` A) +h (T` A)))

Proof of Theorem hosvaltOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hosmvalt 9511	. . 3 |- ((S:H~-->H~ /\ T:H~-->H~) -> (S +op T) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((S` x) +h (T` x)))})
2	1	fveq1d 3726	. 2 |- ((S:H~-->H~ /\ T:H~-->H~) -> ((S +op T)` A) = ({<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((S` x) +h (T` x)))}` A))
3		fveq2 3724	. . . 4 |- (x = A -> (S` x) = (S` A))
4		fveq2 3724	. . . 4 |- (x = A -> (T` x) = (T` A))
5	3, 4	opreq12d 3978	. . 3 |- (x = A -> ((S` x) +h (T` x)) = ((S` A) +h (T` A)))
6		eqid 1475	. . 3 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((S` x) +h (T` x)))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((S` x) +h (T` x)))}
7		oprex 3983	. . 3 |- ((S` A) +h (T` A)) e. V
8	5, 6, 7	fvopab4 3780	. 2 |- (A e. H~ -> ({<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((S` x) +h (T` x)))}` A) = ((S` A) +h (T` A)))
9	2, 8	sylan9eq 1527	1 |- (((S:H~-->H~ /\ T:H~-->H~) /\ A e. H~) -> ((S +op T)` A) = ((S` A) +h (T` A)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {copab 2666  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  H~chil 8788   +h cva 8789   +op chos 8807

This theorem is referenced by:  hosclt 9523  hoaddcom 9698  hods 9701  hoaddass 9702  hocadddir 9705  lnophs 9926  hmopst 9945  adjaddt 10026  nmoptri 10027  leopaddt 10065  pjsdi 10083  pjscj 10098  pjtot 10107

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-map 4324  df-hosum 9506

Copyright terms: Public domain