HomeHome Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem homco1t 9727
Description: Associative law for scalar product and composition of operators.
Assertion
Ref Expression
homco1t |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) -> ((A .op T) o. U) = (A .op (T o. U)))
Proof of Theorem homco1t
StepHypRef Expression
1 homvalt 9518 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ (U` x) e. H~) -> ((A .op T)` (U` x)) = (A .h (T` (U` x))))
2 ffvelrn 3814 . . . . . . . . 9 |- ((U:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (U` x) e. H~)
31, 2syl3an3 861 . . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ (U:H~-->H~ /\ x e. H~)) -> ((A .op T)` (U` x)) = (A .h (T` (U` x))))
433expa 833 . . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T:H~-->H~) /\ (U:H~-->H~ /\ x e. H~)) -> ((A .op T)` (U` x)) = (A .h (T` (U` x))))
54exp43 384 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (T:H~-->H~ -> (U:H~-->H~ -> (x e. H~ -> ((A .op T)` (U` x)) = (A .h (T` (U` x)))))))
653imp1 846 . . . . 5 |- (((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> ((A .op T)` (U` x)) = (A .h (T` (U` x))))
7 fvco3 3776 . . . . . . . . 9 |- ((Fun (A .op T) /\ U:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (((A .op T) o. U)` x) = ((A .op T)` (U` x)))
8 homulclt 9685 . . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~) -> (A .op T):H~-->H~)
9 ffun 3629 . . . . . . . . . 10 |- ((A .op T):H~-->H~ -> Fun (A .op T))
108, 9syl 10 . . . . . . . . 9 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~) -> Fun (A .op T))
117, 10syl3an1 859 . . . . . . . 8 |- (((A e. CC /\ T:H~-->H~) /\ U:H~-->H~ /\ x e. H~) -> (((A .op T) o. U)` x) = ((A .op T)` (U` x)))
12113expia 835 . . . . . . 7 |- (((A e. CC /\ T:H~-->H~) /\ U:H~-->H~) -> (x e. H~ -> (((A .op T) o. U)` x) = ((A .op T)` (U` x))))
13123impa 828 . . . . . 6 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) -> (x e. H~ -> (((A .op T) o. U)` x) = ((A .op T)` (U` x))))
1413imp 350 . . . . 5 |- (((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> (((A .op T) o. U)` x) = ((A .op T)` (U` x)))
15 fvco3 3776 . . . . . . . . 9 |- ((Fun T /\ U:H~-->H~ /\ x e. H~) -> ((T o. U)` x) = (T` (U` x)))
16 ffun 3629 . . . . . . . . 9 |- (T:H~-->H~ -> Fun T)
1715, 16syl3an1 859 . . . . . . . 8 |- ((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~ /\ x e. H~) -> ((T o. U)` x) = (T` (U` x)))
18173expa 833 . . . . . . 7 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> ((T o. U)` x) = (T` (U` x)))
1918opreq2d 3976 . . . . . 6 |- (((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> (A .h ((T o. U)` x)) = (A .h (T` (U` x))))
20193adantl1 803 . . . . 5 |- (((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> (A .h ((T o. U)` x)) = (A .h (T` (U` x))))
216, 14, 203eqtr4d 1517 . . . 4 |- (((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> (((A .op T) o. U)` x) = (A .h ((T o. U)` x)))
22 homvalt 9518 . . . . . . . 8 |- ((A e. CC /\ (T o. U):H~-->H~ /\ x e. H~) -> ((A .op (T o. U))` x) = (A .h ((T o. U)` x)))
23 fco 3636 . . . . . . . 8 |- ((T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) -> (T o. U):H~-->H~)
2422, 23syl3an2 860 . . . . . . 7 |- ((A e. CC /\ (T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> ((A .op (T o. U))` x) = (A .h ((T o. U)` x)))
25243expia 835 . . . . . 6 |- ((A e. CC /\ (T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~)) -> (x e. H~ -> ((A .op (T o. U))` x) = (A .h ((T o. U)` x))))
26253impb 829 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) -> (x e. H~ -> ((A .op (T o. U))` x) = (A .h ((T o. U)` x))))
2726imp 350 . . . 4 |- (((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> ((A .op (T o. U))` x) = (A .h ((T o. U)` x)))
2821, 27eqtr4d 1510 . . 3 |- (((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) /\ x e. H~) -> (((A .op T) o. U)` x) = ((A .op (T o. U))` x))
2928r19.21aiva 1714 . 2 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) -> A.x e. H~ (((A .op T) o. U)` x) = ((A .op (T o. U))` x))
30 hoeqt 9686 . . 3 |- ((((A .op T) o. U):H~-->H~ /\ (A .op (T o. U)):H~-->H~) -> (A.x e. H~ (((A .op T) o. U)` x) = ((A .op (T o. U))` x) <-> ((A .op T) o. U) = (A .op (T o. U))))
31 fco 3636 . . . . 5 |- (((A .op T):H~-->H~ /\ U:H~-->H~) -> ((A .op T) o. U):H~-->H~)
3231, 8sylan 448 . . . 4 |- (((A e. CC /\ T:H~-->H~) /\ U:H~-->H~) -> ((A .op T) o. U):H~-->H~)
33323impa 828 . . 3 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) -> ((A .op T) o. U):H~-->H~)
34 homulclt 9685 . . . . 5 |- ((A e. CC /\ (T o. U):H~-->H~) -> (A .op (T o. U)):H~-->H~)
3534, 23sylan2 451 . . . 4 |- ((A e. CC /\ (T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~)) -> (A .op (T o. U)):H~-->H~)
36353impb 829 . . 3 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) -> (A .op (T o. U)):H~-->H~)
3730, 33, 36sylanc 471 . 2 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) -> (A.x e. H~ (((A .op T) o. U)` x) = ((A .op (T o. U))` x) <-> ((A .op T) o. U) = (A .op (T o. U))))
3829, 37mpbid 195 1 |- ((A e. CC /\ T:H~-->H~ /\ U:H~-->H~) -> ((A .op T) o. U) = (A .op (T o. U)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645   o. ccom 3174  Fun wfun 3176  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  H~chil 8788   .h csm 8790   .op chot 8808
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869  ax-hfvmul 8875
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-map 4324  df-homul 9507
Copyright terms: Public domain