Theorem hococl 9691

Description: Closure of composition of Hilbert space operators.

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	|- S:H~-->H~
hoeq.2	|- T:H~-->H~

Assertion

Ref	Expression
hococl	|- (A e. H~ -> ((S o. T)` A) e. H~)

Proof of Theorem hococl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.1	. . 3 |- S:H~-->H~
2		hoeq.2	. . 3 |- T:H~-->H~
3	1, 2	hoco 9690	. 2 |- (A e. H~ -> ((S o. T)` A) = (S` (T` A)))
4	2	ffvelrni 3815	. . 3 |- (A e. H~ -> (T` A) e. H~)
5	1	ffvelrni 3815	. . 3 |- ((T` A) e. H~ -> (S` (T` A)) e. H~)
6	4, 5	syl 10	. 2 |- (A e. H~ -> (S` (T` A)) e. H~)
7	3, 6	eqeltrd 1548	1 |- (A e. H~ -> ((S o. T)` A) e. H~)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 958   o. ccom 3174  -->wf 3178  ` cfv 3182  H~chil 8788

This theorem is referenced by:  nmopcoadj 10034  pjcohcl 10088  pj3s 10135  pj3cor1 10137

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain