Theorem hoco 9690

Description: Composition of Hilbert space operators.

Hypotheses

Ref	Expression
hoeq.1	|- S:H~-->H~
hoeq.2	|- T:H~-->H~

Assertion

Ref	Expression
hoco	|- (A e. H~ -> ((S o. T)` A) = (S` (T` A)))

Proof of Theorem hoco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoeq.2	. . . 4 |- T:H~-->H~
2	1	fdmi 3632	. . 3 |- dom T = H~
3	2	eleq2i 1538	. 2 |- (A e. dom T <-> A e. H~)
4		hoeq.1	. . . 4 |- S:H~-->H~
5		ffun 3629	. . . 4 |- (S:H~-->H~ -> Fun S)
6	4, 5	ax-mp 7	. . 3 |- Fun S
7		ffun 3629	. . . 4 |- (T:H~-->H~ -> Fun T)
8	1, 7	ax-mp 7	. . 3 |- Fun T
9		fvco 3774	. . 3 |- ((Fun S /\ Fun T /\ A e. dom T) -> ((S o. T)` A) = (S` (T` A)))
10	6, 8, 9	mp3an12 906	. 2 |- (A e. dom T -> ((S o. T)` A) = (S` (T` A)))
11	3, 10	sylbir 201	1 |- (A e. H~ -> ((S o. T)` A) = (S` (T` A)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  dom cdm 3170   o. ccom 3174  Fun wfun 3176  -->wf 3178  ` cfv 3182  H~chil 8788

This theorem is referenced by:  hococl 9691  hocadddir 9705  hocsubdir 9706  ho2co 9707  ho0co 9714  hoid1 9715  hoid1r 9716  hoddi 9914  lnopco 9928  lnopco0 9929  nmopco 10028  adjco 10033  nmopcoadj 10034  hmopidmchlem 10078  hmopidmpj 10080  pjsdi 10083  pjddi 10084  pjco 10086  pjinvar 10119  pjcohocl 10131  pjadj2co 10132  pj3lem1 10134

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain