Theorem ho0valt 9593

Description: Value of the zero Hilbert space operator (null projector). Remark in [Beran] p. 111.

Assertion

Ref	Expression
ho0valt	|- (A e. H~ -> (0hop` A) = 0h)

Proof of Theorem ho0valt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		helch 9037	. . . 4 |- H~ e. CH
2		pjot 9533	. . . 4 |- ((H~ e. CH /\ A e. H~) -> ((proj` (_|_` H~))` A) = (((proj` H~)` A) -h ((proj` H~)` A)))
3	1, 2	mpan 693	. . 3 |- (A e. H~ -> ((proj` (_|_` H~))` A) = (((proj` H~)` A) -h ((proj` H~)` A)))
4		choc1 9206	. . . . . 6 |- (_|_` H~) = 0H
5	4	fveq2i 3712	. . . . 5 |- (proj` (_|_` H~)) = (proj` 0H)
6		df-h0op 9591	. . . . 5 |- 0hop = (proj` 0H)
7	5, 6	eqtr4 1490	. . . 4 |- (proj` (_|_` H~)) = 0hop
8	7	fveq1i 3710	. . 3 |- ((proj` (_|_` H~))` A) = (0hop` A)
9	3, 8	syl5eqr 1513	. 2 |- (A e. H~ -> (0hop` A) = (((proj` H~)` A) -h ((proj` H~)` A)))
10	1	pjhcl 9167	. . 3 |- (A e. H~ -> ((proj` H~)` A) e. H~)
11		hvsubidt 8816	. . 3 |- (((proj` H~)` A) e. H~ -> (((proj` H~)` A) -h ((proj` H~)` A)) = 0h)
12	10, 11	syl 10	. 2 |- (A e. H~ -> (((proj` H~)` A) -h ((proj` H~)` A)) = 0h)
13	9, 12	eqtrd 1499	1 |- (A e. H~ -> (0hop` A) = 0h)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 953   e. wcel 955  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  H~chil 8727  0hc0v 8730   -h cmv 8731  CHcch 8737  _|_cort 8738  0Hc0h 8743  projcpj 8745  0_hopch0o 8751

This theorem is referenced by:  df0op2 9595  hoaddid1 9629  ho0co 9631  0cnop 9819  0hmop 9823  nmop0 9826  adj0 9834  nmlnop0ALT 9835  lnopco0 9844  lnopeq0 9847  lnopcon 9878  nmopco 9942  leop3t 9970  leoprf2t 9972  leoprft 9973  idleop 9976  pjorthco 10008

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873  ax-hcompl 8992

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-r1 4615  df-rank 4616  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-fl 6172  df-q 6194  df-seq1 6245  df-shft 6278  df-ioo 6298  df-uz 6350  df-fz 6400  df-seqz 6465  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-clim 6913  df-sum 6918  df-top 7534  df-bases 7536  df-topgen 7537  df-cld 7605  df-ntr 7606  df-cls 7607  df-cn 7694  df-cnp 7695  df-haus 7721  df-met 7732  df-bl 7734  df-opn 7735  df-lm 7860  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-gdiv 7974  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-vs 8156  df-nm 8157  df-ims 8158  df-ip 8284  df-ph 8403  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-hlim 8780  df-hcau 8781  df-sh 8997  df-ch 9013  df-oc 9045  df-ch0 9046  df-pj 9152  df-h0op 9591

Copyright terms: Public domain