Theorem hmphre 10530

Description: "Is homeomorph to" is reflexive.

Assertion

Ref	Expression
hmphre	|- (J e. Top -> J ~= J)

Proof of Theorem hmphre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 2871	. . . . 5 |- (J e. Top -> U.J e. V)
2		resiexg 3396	. . . . . 6 |- (U.J e. V -> (I |` U.J) e. V)
3		f1oi 3717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (I |` U.J):U.J-1-1-onto->U.J
4	3	a1i 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ (I |` U.J) e. V) -> (I |` U.J):U.J-1-1-onto->U.J)
5		elssuni 2526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. J -> x (_ U.J)
6		resiima 3419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x (_ U.J -> ((I |` U.J)"x) = x)
7	6	eleq1d 1540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x (_ U.J -> (((I |` U.J)"x) e. J <-> x e. J))
8	7	biimprcd 156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. J -> (x (_ U.J -> ((I |` U.J)"x) e. J))
9	5, 8	mpd 26	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. J -> ((I |` U.J)"x) e. J)
10	9	rgen 1698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A.x e. J ((I |` U.J)"x) e. J
11	10	a1i 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ (I |` U.J) e. V) -> A.x e. J ((I |` U.J)"x) e. J)
12	6	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. J /\ x (_ U.J) -> ((I |` U.J)"x) = x)
13		pm3.26 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. J /\ x (_ U.J) -> x e. J)
14	12, 13	eqeltrd 1548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. J /\ x (_ U.J) -> ((I |` U.J)"x) e. J)
15		cnvresid 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- `'(I |` U.J) = (I |` U.J)
16		imaeq1 3401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (`'(I |` U.J) = (I |` U.J) -> (`'(I |` U.J)"x) = ((I |` U.J)"x))
17	15, 16	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (`'(I |` U.J)"x) = ((I |` U.J)"x)
18	14, 17	syl5eqel 1552	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. J /\ x (_ U.J) -> (`'(I |` U.J)"x) e. J)
19	5, 18	mpdan 704	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x e. J -> (`'(I |` U.J)"x) e. J)
20	19	rgen 1698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A.x e. J (`'(I |` U.J)"x) e. J
21	20	a1i 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ (I |` U.J) e. V) -> A.x e. J (`'(I |` U.J)"x) e. J)
22	4, 11, 21	3jca 819	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ (I |` U.J) e. V) -> ((I |` U.J):U.J-1-1-onto->U.J /\ A.x e. J ((I |` U.J)"x) e. J /\ A.x e. J (`'(I |` U.J)"x) e. J))
23		eqid 1475	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.J = U.J
24	23, 23	ishomeo 10517	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ (I |` U.J) e. V) -> ((I |` U.J) e. (J Homeo J) <-> ((I |` U.J):U.J-1-1-onto->U.J /\ A.x e. J ((I |` U.J)"x) e. J /\ A.x e. J (`'(I |` U.J)"x) e. J)))
25	22, 24	mpbird 196	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ J e. Top /\ (I |` U.J) e. V) -> (I |` U.J) e. (J Homeo J))
26	25	3exp 832	. . . . . . . . . 10 |- (J e. Top -> (J e. Top -> ((I |` U.J) e. V -> (I |` U.J) e. (J Homeo J))))
27	26	pm2.43i 64	. . . . . . . . 9 |- (J e. Top -> ((I |` U.J) e. V -> (I |` U.J) e. (J Homeo J)))
28	27	com12 11	. . . . . . . 8 |- ((I |` U.J) e. V -> (J e. Top -> (I |` U.J) e. (J Homeo J)))
29		eleq1 1534	. . . . . . . . . 10 |- (f = (I |` U.J) -> (f e. (J Homeo J) <-> (I |` U.J) e. (J Homeo J)))
30	29	imbi2d 612	. . . . . . . . 9 |- (f = (I |` U.J) -> ((J e. Top -> f e. (J Homeo J)) <-> (J e. Top -> (I |` U.J) e. (J Homeo J))))
31	30	cla4egv 1863	. . . . . . . 8 |- ((I |` U.J) e. V -> ((J e. Top -> (I |` U.J) e. (J Homeo J)) -> E.f(J e. Top -> f e. (J Homeo J))))
32	28, 31	mpd 26	. . . . . . 7 |- ((I |` U.J) e. V -> E.f(J e. Top -> f e. (J Homeo J)))
33		19.37v 1303	. . . . . . 7 |- (E.f(J e. Top -> f e. (J Homeo J)) <-> (J e. Top -> E.f f e. (J Homeo J)))
34	32, 33	sylib 198	. . . . . 6 |- ((I |` U.J) e. V -> (J e. Top -> E.f f e. (J Homeo J)))
35	2, 34	syl 10	. . . . 5 |- (U.J e. V -> (J e. Top -> E.f f e. (J Homeo J)))
36	1, 35	syl 10	. . . 4 |- (J e. Top -> (J e. Top -> E.f f e. (J Homeo J)))
37	36	imp 350	. . 3 |- ((J e. Top /\ J e. Top) -> E.f f e. (J Homeo J))
38		hmph 10524	. . 3 |- ((J e. Top /\ J e. Top) -> (J ~= J <-> E.f f e. (J Homeo J)))
39	37, 38	mpbird 196	. 2 |- ((J e. Top /\ J e. Top) -> J ~= J)
40	39	anidms 434	1 |- (J e. Top -> J ~= J)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  A.wral 1645  Vcvv 1811   (_ wss 2047  U.cuni 2503   class class class wbr 2619  Icid 2831  `'ccnv 3169   |` cres 3172  "cima 3173  -1-1-onto->wf1o 3181  (class class class)co 3963  Topctop 7588   Homeo chomeosm 10513   ~= chomeo 10514

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-homeo 10515  df-hmph 10523

Copyright terms: Public domain