Theorem hmpher 10542

Description: "Is homeomorph to" is an equivalence relation.

Assertion

Ref	Expression
hmpher	|- Er ~=

Proof of Theorem hmpher

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1820	. . . . 5 |- x e. V
2	1	dmhmpha 10540	. . . 4 |- (x ~= y -> x e. Top)
3		visset 1820	. . . . 5 |- y e. V
4	1, 3	rnhmpha 10541	. . . 4 |- (x ~= y -> y e. Top)
5	2, 4	jca 288	. . 3 |- (x ~= y -> (x e. Top /\ y e. Top))
6		hmphsyma 10534	. . 3 |- ((x e. Top /\ y e. Top) -> (x ~= y -> y ~= x))
7	5, 6	mpcom 49	. 2 |- (x ~= y -> y ~= x)
8	2	adantr 391	. . . 4 |- ((x ~= y /\ y ~= z) -> x e. Top)
9	3	dmhmpha 10540	. . . . 5 |- (y ~= z -> y e. Top)
10	9	adantl 390	. . . 4 |- ((x ~= y /\ y ~= z) -> y e. Top)
11		visset 1820	. . . . . 6 |- z e. V
12	3, 11	rnhmpha 10541	. . . . 5 |- (y ~= z -> z e. Top)
13	12	adantl 390	. . . 4 |- ((x ~= y /\ y ~= z) -> z e. Top)
14	8, 10, 13	3jca 823	. . 3 |- ((x ~= y /\ y ~= z) -> (x e. Top /\ y e. Top /\ z e. Top))
15		hmphtr 10537	. . 3 |- ((x e. Top /\ y e. Top /\ z e. Top) -> ((x ~= y /\ y ~= z) -> x ~= z))
16	14, 15	mpcom 49	. 2 |- ((x ~= y /\ y ~= z) -> x ~= z)
17	7, 16	ster 4282	1 |- Er ~=

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 779   e. wcel 962   class class class wbr 2632  Er wer 4272  Topctop 7603   ~= chomeo 10520

This theorem is referenced by:  hmphsymv 10543

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-sep 2716  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-nul 2290  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-op 2426  df-uni 2516  df-br 2633  df-opab 2680  df-id 2849  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-er 4275  df-homeo 10521  df-hmph 10529

Copyright terms: Public domain