Theorem hmopidmcht 10206

Description: An idempotent Hermitian operator generates a closed subspace. Part of proof of Theorem of [AkhiezerGlazman] p. 64.

Assertion

Ref	Expression
hmopidmcht	|- ((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T) -> {x e. H~ | (T` x) = x} e. CH)

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem hmopidmcht

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 3662	. . . . 5 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> (T` x) = (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )` x))
2	1	eqeq1d 1459	. . . 4 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> ((T` x) = x <-> (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )` x) = x))
3	2	rabbisdv 1782	. . 3 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> {x e. H~ | (T` x) = x} = {x e. H~ | (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )` x) = x})
4	3	eleq1d 1516	. 2 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> ({x e. H~ | (T` x) = x} e. CH <-> {x e. H~ | (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )` x) = x} e. CH))
5		eqid 1452	. . 3 |- {x e. H~ | (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )` x) = x} = {x e. H~ | (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )` x) = x}
6		eleq1 1510	. . . . 5 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> (T e. HrmOp <-> if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) e. HrmOp))
7		coeq1 3238	. . . . . . 7 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> (T o. T) = (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. T))
8		coeq2 3239	. . . . . . 7 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. T) = (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )))
9	7, 8	eqtrd 1483	. . . . . 6 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> (T o. T) = (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )))
10		id 59	. . . . . 6 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ))
11	9, 10	eqeq12d 1465	. . . . 5 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> ((T o. T) = T <-> (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )) = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )))
12	6, 11	anbi12d 626	. . . 4 |- (T = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> ((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T) <-> (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) e. HrmOp /\ (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )) = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ))))
13		eleq1 1510	. . . . 5 |- ( Iop = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> ( Iop e. HrmOp <-> if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) e. HrmOp))
14		coeq1 3238	. . . . . . 7 |- ( Iop = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> ( Iop o. Iop ) = (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. Iop ))
15		coeq2 3239	. . . . . . 7 |- ( Iop = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. Iop ) = (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )))
16	14, 15	eqtrd 1483	. . . . . 6 |- ( Iop = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> ( Iop o. Iop ) = (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )))
17		id 59	. . . . . 6 |- ( Iop = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> Iop = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ))
18	16, 17	eqeq12d 1465	. . . . 5 |- ( Iop = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> (( Iop o. Iop ) = Iop <-> (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )) = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )))
19	13, 18	anbi12d 626	. . . 4 |- ( Iop = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) -> (( Iop e. HrmOp /\ ( Iop o. Iop ) = Iop ) <-> (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) e. HrmOp /\ (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )) = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ))))
20		idhmop 10036	. . . . 5 |- Iop e. HrmOp
21		hoif 9811	. . . . . . 7 |- Iop :H~-1-1-onto->H~
22		f1of 3628	. . . . . . 7 |- ( Iop :H~-1-1-onto->H~ -> Iop :H~-->H~)
23	21, 22	ax-mp 7	. . . . . 6 |- Iop :H~-->H~
24	23	hoid1 9846	. . . . 5 |- ( Iop o. Iop ) = Iop
25	20, 24	pm3.2i 285	. . . 4 |- ( Iop e. HrmOp /\ ( Iop o. Iop ) = Iop )
26	12, 19, 25	elimhyp 2361	. . 3 |- (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) e. HrmOp /\ (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ) o. if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )) = if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop ))
27	5, 26	hmopidmch 10204	. 2 |- {x e. H~ | (if((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T), T, Iop )` x) = x} e. CH
28	4, 27	dedth 2354	1 |- ((T e. HrmOp /\ (T o. T) = T) -> {x e. H~ | (T` x) = x} e. CH)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 1099   e. wcel 1105  {crab 1624  ifcif 2332   o. ccom 3137  -->wf 3141  -1-1-onto->wf1o 3144  ` cfv 3145  H~chil 8968  CHcch 8978   Iop chio 8993  HrmOpcho 8999

This theorem is referenced by:  pjhmopidm 10234  elpjcht 10240

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-reg 4517  ax-inf2 4549  ax-ac 4668  ax-hilex 9017  ax-hfvadd 9018  ax-hvcom 9019  ax-hvass 9020  ax-hv0cl 9021  ax-hvaddid 9022  ax-hfvmul 9023  ax-hvmulid 9024  ax-hvmulass 9025  ax-hvdistr1 9026  ax-hvdistr2 9027  ax-hvmul0 9028  ax-hfi 9095  ax-his1 9098  ax-his2 9099  ax-his3 9100  ax-his4 9101  ax-hcompl 9222

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-iin 2537  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-map 4262  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-sup 4500  df-r1 4567  df-rank 4568  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169  df-lt 5170  df-sub 5279  df-neg 5281  df-pnf 5410  df-mnf 5411  df-xr 5412  df-ltxr 5413  df-le 5414  df-div 5623  df-n 5824  df-2 5868  df-3 5869  df-4 5870  df-n0 5998  df-z 6034  df-fl 6123  df-q 6145  df-seq1 6196  df-shft 6229  df-ioo 6249  df-uz 6301  df-fz 6351  df-seqz 6416  df-exp 6452  df-sqr 6551  df-re 6633  df-im 6634  df-cj 6635  df-abs 6636  df-clim 6864  df-sum 6869  df-top 7485  df-bases 7487  df-topgen 7488  df-cld 7556  df-ntr 7557  df-cls 7558  df-cn 7642  df-cnp 7643  df-haus 7669  df-met 7680  df-bl 7682  df-opn 7683  df-lm 7808  df-grp 7919  df-gid 7920  df-ginv 7921  df-gdiv 7922  df-abl 7984  df-vc 8050  df-nv 8092  df-va 8094  df-ba 8095  df-sm 8096  df-0v 8097  df-vs 8098  df-nm 8099  df-ims 8100  df-ip 8219  df-ph 8338  df-hvsub 9033  df-hnorm 9137  df-hcau 9200  df-hlim 9206  df-sh 9227  df-ch 9243  df-oc 9275  df-ch0 9276  df-pj 9366  df-iop 9806  df-lnop 9898  df-hmop 9901

Copyright terms: Public domain