Theorem hlimvec 8979

Description: Closure of the limit of a sequence on Hilbert space.

Hypotheses

Ref	Expression
hlim.1	|- F e. V
hlim.2	|- A e. V

Assertion

Ref	Expression
hlimvec	|- (F ~~>v A -> A e. H~)

Proof of Theorem hlimvec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlim.1	. . . 4 |- F e. V
2		hlim.2	. . . 4 |- A e. V
3	1, 2	hlim 8977	. . 3 |- (F ~~>v A <-> ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x))))
4	3	pm3.26bi 322	. 2 |- (F ~~>v A -> (F:NN-->H~ /\ A e. H~))
5	4	pm3.27d 325	1 |- (F ~~>v A -> A e. H~)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638  Vcvv 1802   class class class wbr 2609  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206   <_ cle 5267  NNcn 5268   < clt 5458  H~chil 8727   -h cmv 8731  normhcno 8733   ~~>v chli 8735

This theorem is referenced by:  hhcms 8993  hlimcaui 9027  hlimunii 9029  helch 9037  occl 9097  projlem25 9126  osumlem7 9501  nlelch 9909  hmopidmch 9990

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-opr 3950  df-hlim 8780

Copyright terms: Public domain