Theorem hlim2 8981

Description: The limit of a sequence on a Hilbert space.

Assertion

Ref	Expression
hlim2	|- ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) -> (F ~~>v A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x))))

Distinct variable groups:   x,y,z,F   x,A,y,z

Proof of Theorem hlim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1 3606	. . . . . 6 |- (f = F -> (f:NN-->H~ <-> F:NN-->H~))
2	1	anbi1d 615	. . . . 5 |- (f = F -> ((f:NN-->H~ /\ w e. H~) <-> (F:NN-->H~ /\ w e. H~)))
3		fveq1 3708	. . . . . . . . . . . 12 |- (f = F -> (f` z) = (F` z))
4	3	opreq1d 3960	. . . . . . . . . . 11 |- (f = F -> ((f` z) -h w) = ((F` z) -h w))
5	4	fveq2d 3713	. . . . . . . . . 10 |- (f = F -> (normh` ((f` z) -h w)) = (normh` ((F` z) -h w)))
6	5	breq1d 2619	. . . . . . . . 9 |- (f = F -> ((normh` ((f` z) -h w)) < x <-> (normh` ((F` z) -h w)) < x))
7	6	imbi2d 610	. . . . . . . 8 |- (f = F -> ((y <_ z -> (normh` ((f` z) -h w)) < x) <-> (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x)))
8	7	rexralbidv 1674	. . . . . . 7 |- (f = F -> (E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((f` z) -h w)) < x) <-> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x)))
9	8	imbi2d 610	. . . . . 6 |- (f = F -> ((0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((f` z) -h w)) < x)) <-> (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x))))
10	9	ralbidv 1655	. . . . 5 |- (f = F -> (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((f` z) -h w)) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x))))
11	2, 10	anbi12d 626	. . . 4 |- (f = F -> (((f:NN-->H~ /\ w e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((f` z) -h w)) < x))) <-> ((F:NN-->H~ /\ w e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x)))))
12		eleq1 1526	. . . . . 6 |- (w = A -> (w e. H~ <-> A e. H~))
13	12	anbi2d 614	. . . . 5 |- (w = A -> ((F:NN-->H~ /\ w e. H~) <-> (F:NN-->H~ /\ A e. H~)))
14		opreq2 3954	. . . . . . . . . . 11 |- (w = A -> ((F` z) -h w) = ((F` z) -h A))
15	14	fveq2d 3713	. . . . . . . . . 10 |- (w = A -> (normh` ((F` z) -h w)) = (normh` ((F` z) -h A)))
16	15	breq1d 2619	. . . . . . . . 9 |- (w = A -> ((normh` ((F` z) -h w)) < x <-> (normh` ((F` z) -h A)) < x))
17	16	imbi2d 610	. . . . . . . 8 |- (w = A -> ((y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x) <-> (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x)))
18	17	rexralbidv 1674	. . . . . . 7 |- (w = A -> (E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x) <-> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x)))
19	18	imbi2d 610	. . . . . 6 |- (w = A -> ((0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x)) <-> (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x))))
20	19	ralbidv 1655	. . . . 5 |- (w = A -> (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x))))
21	13, 20	anbi12d 626	. . . 4 |- (w = A -> (((F:NN-->H~ /\ w e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h w)) < x))) <-> ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x)))))
22		df-hlim 8780	. . . 4 |- ~~>v = {<.f, w>. | ((f:NN-->H~ /\ w e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((f` z) -h w)) < x)))}
23	11, 21, 22	brabg 2807	. . 3 |- ((F e. V /\ A e. H~) -> (F ~~>v A <-> ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x)))))
24		nnex 5881	. . . 4 |- NN e. V
25		fex 3637	. . . 4 |- ((F:NN-->H~ /\ NN e. V) -> F e. V)
26	24, 25	mpan2 694	. . 3 |- (F:NN-->H~ -> F e. V)
27	23, 26	sylan 448	. 2 |- ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) -> (F ~~>v A <-> ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x)))))
28	27	bianabs 651	1 |- ((F:NN-->H~ /\ A e. H~) -> (F ~~>v A <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN (y <_ z -> (normh` ((F` z) -h A)) < x))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  A.wral 1637  E.wrex 1638  Vcvv 1802   class class class wbr 2609  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  RRcr 5205  0cc0 5206   <_ cle 5267  NNcn 5268   < clt 5458  H~chil 8727   -h cmv 8731  normhcno 8733   ~~>v chli 8735

This theorem is referenced by:  hlimcaui 9027

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330  df-n 5873  df-hlim 8780

Copyright terms: Public domain