Theorem his2subt 8879

Description: Distributive law for inner product of vector subtraction.

Assertion

Ref	Expression
his2subt	|- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A -h B) .ih C) = ((A .ih C) - (B .ih C)))

Proof of Theorem his2subt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsubvalt 8807	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> (A -h B) = (A +h (-u1 .h B)))
2	1	opreq1d 3960	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. H~) -> ((A -h B) .ih C) = ((A +h (-u1 .h B)) .ih C))
3	2	3adant3 797	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A -h B) .ih C) = ((A +h (-u1 .h B)) .ih C))
4		ax-his2 8871	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ (-u1 .h B) e. H~ /\ C e. H~) -> ((A +h (-u1 .h B)) .ih C) = ((A .ih C) + ((-u1 .h B) .ih C)))
5		ax1cn 5241	. . . . . 6 |- 1 e. CC
6	5	negcl 5341	. . . . 5 |- -u1 e. CC
7		hvmulclt 8804	. . . . 5 |- ((-u1 e. CC /\ B e. H~) -> (-u1 .h B) e. H~)
8	6, 7	mpan 693	. . . 4 |- (B e. H~ -> (-u1 .h B) e. H~)
9	4, 8	syl3an2 858	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A +h (-u1 .h B)) .ih C) = ((A .ih C) + ((-u1 .h B) .ih C)))
10		ax-his3 8872	. . . . . . 7 |- ((-u1 e. CC /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((-u1 .h B) .ih C) = (-u1 x. (B .ih C)))
11	6, 10	mp3an1 900	. . . . . 6 |- ((B e. H~ /\ C e. H~) -> ((-u1 .h B) .ih C) = (-u1 x. (B .ih C)))
12		hiclt 8868	. . . . . . 7 |- ((B e. H~ /\ C e. H~) -> (B .ih C) e. CC)
13		mulm1t 5443	. . . . . . 7 |- ((B .ih C) e. CC -> (-u1 x. (B .ih C)) = -u(B .ih C))
14	12, 13	syl 10	. . . . . 6 |- ((B e. H~ /\ C e. H~) -> (-u1 x. (B .ih C)) = -u(B .ih C))
15	11, 14	eqtrd 1499	. . . . 5 |- ((B e. H~ /\ C e. H~) -> ((-u1 .h B) .ih C) = -u(B .ih C))
16	15	opreq2d 3961	. . . 4 |- ((B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A .ih C) + ((-u1 .h B) .ih C)) = ((A .ih C) + -u(B .ih C)))
17	16	3adant1 795	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A .ih C) + ((-u1 .h B) .ih C)) = ((A .ih C) + -u(B .ih C)))
18	9, 17	eqtrd 1499	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A +h (-u1 .h B)) .ih C) = ((A .ih C) + -u(B .ih C)))
19		negsubt 5354	. . 3 |- (((A .ih C) e. CC /\ (B .ih C) e. CC) -> ((A .ih C) + -u(B .ih C)) = ((A .ih C) - (B .ih C)))
20		hiclt 8868	. . . 4 |- ((A e. H~ /\ C e. H~) -> (A .ih C) e. CC)
21	20	3adant2 796	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> (A .ih C) e. CC)
22	12	3adant1 795	. . 3 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> (B .ih C) e. CC)
23	19, 21, 22	sylanc 471	. 2 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A .ih C) + -u(B .ih C)) = ((A .ih C) - (B .ih C)))
24	3, 18, 23	3eqtrd 1503	1 |- ((A e. H~ /\ B e. H~ /\ C e. H~) -> ((A -h B) .ih C) = ((A .ih C) - (B .ih C)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  (class class class)co 3948  CCcc 5204  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264  -ucneg 5265  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729   -h cmv 8731   .ih csp 8732

This theorem is referenced by:  his2sub2t 8880  hi2eqt 8892  h1de2 9391  pjdifnorm 9545  lnopeq 9848  riesz3 9910  leop2t 9969  hmopidmpj 9991  pjsspos 10011  pjclem4 10037  pj3s 10045

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hfvmul 8796  ax-hfi 8867  ax-his2 8871  ax-his3 8872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330  df-hvsub 8779

Copyright terms: Public domain