Theorem hilnorm 8985

Description: Hilbert space norm in terms of vector space norm.

Hypotheses

Ref	Expression
hilnorm.5	|- H~ = (Base` U)
hilnorm.2	|- .ih = (.i` U)
hilnorm.9	|- U e. NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
hilnorm	|- normh = (norm` U)

Proof of Theorem hilnorm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilnorm.9	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
2		hilnorm.5	. . . . . . 7 |- H~ = (Base` U)
3		eqid 1474	. . . . . . 7 |- (norm` U) = (norm` U)
4		hilnorm.2	. . . . . . 7 |- .ih = (.i` U)
5	2, 3, 4	ipnm 8326	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. H~) -> ((norm` U)` x) = (sqr` (x .ih x)))
6	1, 5	mpan 694	. . . . 5 |- (x e. H~ -> ((norm` U)` x) = (sqr` (x .ih x)))
7	6	eqeq2d 1484	. . . 4 |- (x e. H~ -> (y = ((norm` U)` x) <-> y = (sqr` (x .ih x))))
8	7	pm5.32i 644	. . 3 |- ((x e. H~ /\ y = ((norm` U)` x)) <-> (x e. H~ /\ y = (sqr` (x .ih x))))
9	8	opabbii 2667	. 2 |- {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((norm` U)` x))} = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (sqr` (x .ih x)))}
10	2, 3	nvf 8250	. . . . 5 |- (U e. NrmCVec -> (norm` U):H~-->RR)
11	1, 10	ax-mp 7	. . . 4 |- (norm` U):H~-->RR
12		ffn 3623	. . . 4 |- ((norm` U):H~-->RR -> (norm` U) Fn H~)
13	11, 12	ax-mp 7	. . 3 |- (norm` U) Fn H~
14		fnopabfv 3753	. . 3 |- ((norm` U) Fn H~ <-> (norm` U) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((norm` U)` x))})
15	13, 14	mpbi 189	. 2 |- (norm` U) = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = ((norm` U)` x))}
16		dfhnorm2 8943	. 2 |- normh = {<.x, y>. | (x e. H~ /\ y = (sqr` (x .ih x)))}
17	9, 15, 16	3eqtr4r 1504	1 |- normh = (norm` U)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  {copab 2662   Fn wfn 3173  -->wf 3174  ` cfv 3178  (class class class)co 3958  RRcr 5216  sqrcsqr 6614  NrmCVeccnv 8167  Basecba 8169  normcnm 8173  .icip 8311  H~chil 8743   .ih csp 8748  normhcno 8749

This theorem is referenced by:  hilhh 8986

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608  ax-hfi 8901

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-nel 1586  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-f1 3191  df-fo 3192  df-f1o 3193  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-en 4360  df-dom 4361  df-sdom 4362  df-sup 4557  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-lt 5230  df-sub 5339  df-neg 5341  df-pnf 5470  df-mnf 5471  df-xr 5472  df-ltxr 5473  df-le 5474  df-div 5682  df-n 5883  df-2 5927  df-3 5928  df-4 5929  df-n0 6057  df-z 6093  df-seq1 6258  df-shft 6291  df-uz 6363  df-fz 6413  df-seqz 6478  df-exp 6514  df-sqr 6615  df-re 6697  df-im 6698  df-cj 6699  df-abs 6700  df-sum 6933  df-grp 7999  df-gid 8000  df-ginv 8001  df-abl 8063  df-vc 8129  df-nv 8175  df-va 8178  df-ba 8179  df-sm 8180  df-0v 8181  df-nm 8183  df-ip 8312  df-hnorm 8792

Copyright terms: Public domain