Theorem hilid 8967

Description: The group identity element of Hilbert space vector addition is the zero vector.

Assertion

Ref	Expression
hilid	|- (Id` +h ) = 0h

Proof of Theorem hilid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvaddid2t 8831	. . 3 |- (x e. H~ -> (0h +h x) = x)
2	1	rgen 1695	. 2 |- A.x e. H~ (0h +h x) = x
3		ax-hv0cl 8812	. . 3 |- 0h e. H~
4		opreq1 3959	. . . . . . 7 |- (y = 0h -> (y +h x) = (0h +h x))
5	4	eqeq1d 1480	. . . . . 6 |- (y = 0h -> ((y +h x) = x <-> (0h +h x) = x))
6	5	ralbidv 1660	. . . . 5 |- (y = 0h -> (A.x e. H~ (y +h x) = x <-> A.x e. H~ (0h +h x) = x))
7		hilabl 8966	. . . . . . . 8 |- +h e. Abel
8		ablgrp 8053	. . . . . . . 8 |- ( +h e. Abel -> +h e. Grp)
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- +h e. Grp
10		ax-hfvadd 8809	. . . . . . . . 9 |- +h :(H~ X. H~)-->H~
11	9, 10	grprnOLD 8007	. . . . . . . 8 |- H~ = ran +h
12		eqid 1473	. . . . . . . 8 |- (Id` +h ) = (Id` +h )
13	11, 12	grpidval 8008	. . . . . . 7 |- ( +h e. Grp -> (Id` +h ) = U.{y e. H~ | A.x e. H~ (y +h x) = x})
14	9, 13	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (Id` +h ) = U.{y e. H~ | A.x e. H~ (y +h x) = x}
15		eqeq12 1484	. . . . . . 7 |- ((U.{y e. H~ | A.x e. H~ (y +h x) = x} = (Id` +h ) /\ y = 0h) -> (U.{y e. H~ | A.x e. H~ (y +h x) = x} = y <-> (Id` +h ) = 0h))
16		eqcom 1474	. . . . . . 7 |- ((Id` +h ) = U.{y e. H~ | A.x e. H~ (y +h x) = x} <-> U.{y e. H~ | A.x e. H~ (y +h x) = x} = (Id` +h ))
17	15, 16	sylanb 449	. . . . . 6 |- (((Id` +h ) = U.{y e. H~ | A.x e. H~ (y +h x) = x} /\ y = 0h) -> (U.{y e. H~ | A.x e. H~ (y +h x) = x} = y <-> (Id` +h ) = 0h))
18	14, 17	mpan 694	. . . . 5 |- (y = 0h -> (U.{y e. H~ | A.x e. H~ (y +h x) = x} = y <-> (Id` +h ) = 0h))
19	6, 18	bibi12d 628	. . . 4 |- (y = 0h -> ((A.x e. H~ (y +h x) = x <-> U.{y e. H~ | A.x e. H~ (y +h x) = x} = y) <-> (A.x e. H~ (0h +h x) = x <-> (Id` +h ) = 0h)))
20	11	grpideu 8003	. . . . . 6 |- ( +h e. Grp -> E!y e. H~ A.x e. H~ (y +h x) = x)
21	9, 20	ax-mp 7	. . . . 5 |- E!y e. H~ A.x e. H~ (y +h x) = x
22		reuuni1 2877	. . . . 5 |- ((y e. H~ /\ E!y e. H~ A.x e. H~ (y +h x) = x) -> (A.x e. H~ (y +h x) = x <-> U.{y e. H~ | A.x e. H~ (y +h x) = x} = y))
23	21, 22	mpan2 695	. . . 4 |- (y e. H~ -> (A.x e. H~ (y +h x) = x <-> U.{y e. H~ | A.x e. H~ (y +h x) = x} = y))
24	19, 23	vtoclga 1848	. . 3 |- (0h e. H~ -> (A.x e. H~ (0h +h x) = x <-> (Id` +h ) = 0h))
25	3, 24	ax-mp 7	. 2 |- (A.x e. H~ (0h +h x) = x <-> (Id` +h ) = 0h)
26	2, 25	mpbi 189	1 |- (Id` +h ) = 0h

Syntax hints:   <-> wb 146   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  E!wreu 1644  {crab 1645  U.cuni 2498  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  Grpcgr 7983  Idcgi 7984  Abelcabl 8050  H~chil 8727   +h cva 8728  0hc0v 8730

This theorem is referenced by:  hhnv 8971  hh0v 8974

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fo 3191  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-sub 5336  df-neg 5338  df-grp 7987  df-gid 7988  df-abl 8051  df-hvsub 8779

Copyright terms: Public domain