Theorem hilabl 8966

Description: Hilbert space vector addition is an Abelian group operation.

Assertion

Ref	Expression
hilabl	|- +h e. Abel

Proof of Theorem hilabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hilex 8808	. . 3 |- H~ e. V
2		ax-hfvadd 8809	. . 3 |- +h :(H~ X. H~)-->H~
3		ax-hvass 8811	. . 3 |- ((x e. H~ /\ y e. H~ /\ z e. H~) -> ((x +h y) +h z) = (x +h (y +h z)))
4		ax-hv0cl 8812	. . 3 |- 0h e. H~
5		hvaddid2t 8831	. . 3 |- (x e. H~ -> (0h +h x) = x)
6		ax1cn 5249	. . . . 5 |- 1 e. CC
7	6	negcl 5349	. . . 4 |- -u1 e. CC
8		hvmulclt 8822	. . . 4 |- ((-u1 e. CC /\ x e. H~) -> (-u1 .h x) e. H~)
9	7, 8	mpan 694	. . 3 |- (x e. H~ -> (-u1 .h x) e. H~)
10		ax-hvcom 8810	. . . . 5 |- (((-u1 .h x) e. H~ /\ x e. H~) -> ((-u1 .h x) +h x) = (x +h (-u1 .h x)))
11	9, 10	mpancom 704	. . . 4 |- (x e. H~ -> ((-u1 .h x) +h x) = (x +h (-u1 .h x)))
12		hvnegidt 8835	. . . 4 |- (x e. H~ -> (x +h (-u1 .h x)) = 0h)
13	11, 12	eqtrd 1504	. . 3 |- (x e. H~ -> ((-u1 .h x) +h x) = 0h)
14	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13	isgrpi 7992	. 2 |- +h e. Grp
15		ax-hvcom 8810	. 2 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x +h y) = (y +h x))
16	14, 2, 15	isabliOLD 8057	1 |- +h e. Abel

Syntax hints:   = wceq 954   e. wcel 956  (class class class)co 3954  CCcc 5212  1c1 5215  -ucneg 5273  Abelcabl 8050  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729  0hc0v 8730

This theorem is referenced by:  hilid 8967  hilvc 8968  hhnv 8971  hhba 8973  hhph 8984  hhssva 9068  hhsssm 9069  hhssabl 9071  hhshsslem1 9076  hhsssh2 9079

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fo 3191  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-sub 5336  df-neg 5338  df-grp 7987  df-abl 8051  df-hvsub 8779

Copyright terms: Public domain