Theorem hiassdit 8957

Description: Distributive/associative law for inner product, useful for linearity proofs.

Assertion

Ref	Expression
hiassdit	|- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (((A .h B) +h C) .ih D) = ((A x. (B .ih D)) + (C .ih D)))

Proof of Theorem hiassdit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-his2 8950	. . . 4 |- (((A .h B) e. H~ /\ C e. H~ /\ D e. H~) -> (((A .h B) +h C) .ih D) = (((A .h B) .ih D) + (C .ih D)))
2	1	3expb 834	. . 3 |- (((A .h B) e. H~ /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (((A .h B) +h C) .ih D) = (((A .h B) .ih D) + (C .ih D)))
3		hvmulclt 8883	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. H~) -> (A .h B) e. H~)
4	2, 3	sylan 448	. 2 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (((A .h B) +h C) .ih D) = (((A .h B) .ih D) + (C .ih D)))
5		ax-his3 8951	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. H~ /\ D e. H~) -> ((A .h B) .ih D) = (A x. (B .ih D)))
6	5	3expa 833	. . . 4 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ D e. H~) -> ((A .h B) .ih D) = (A x. (B .ih D)))
7	6	adantrl 394	. . 3 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> ((A .h B) .ih D) = (A x. (B .ih D)))
8	7	opreq1d 3975	. 2 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (((A .h B) .ih D) + (C .ih D)) = ((A x. (B .ih D)) + (C .ih D)))
9	4, 8	eqtrd 1507	1 |- (((A e. CC /\ B e. H~) /\ (C e. H~ /\ D e. H~)) -> (((A .h B) +h C) .ih D) = ((A x. (B .ih D)) + (C .ih D)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  (class class class)co 3963  CCcc 5232   + caddc 5237   x. cmul 5239  H~chil 8788   +h cva 8789   .h csm 8790   .ih csp 8793

This theorem is referenced by:  unoplint 9844  hmoplint 9866

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hfvmul 8875  ax-his2 8950  ax-his3 8951

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965

Copyright terms: Public domain