Theorem hhssabl 9053

Description: Abelian group property of subspace addition.

Hypothesis

Ref	Expression
hhssabl.1	|- H e. SH

Assertion

Ref	Expression
hhssabl	|- ( +h |` (H X. H)) e. Abel

Proof of Theorem hhssabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilabl 8948	. . . . . 6 |- +h e. Abel
2		ablgrp 8038	. . . . . 6 |- ( +h e. Abel -> +h e. Grp)
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . 5 |- +h e. Grp
4		eqid 1468	. . . . . . 7 |- <.<. +h , .h >., normh>. = <.<. +h , .h >., normh>.
5	4	hhba 8955	. . . . . 6 |- H~ = (Base` <.<. +h , .h >., normh>.)
6	4	hhva 8954	. . . . . 6 |- +h = (+v` <.<. +h , .h >., normh>.)
7	5, 6	bafval 8161	. . . . 5 |- H~ = ran +h
8	4	hh0v 8956	. . . . . 6 |- 0h = (0v` <.<. +h , .h >., normh>.)
9	6, 8	0vfval 8163	. . . . 5 |- 0h = (Id` +h )
10	4	hhnv 8953	. . . . . 6 |- <.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec
11	4	hhsm 8957	. . . . . . 7 |- .h = (.s` <.<. +h , .h >., normh>.)
12		eqid 1468	. . . . . . 7 |- ( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V))) = ( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V)))
13	6, 11, 12	invfval 8201	. . . . . 6 |- (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec -> ( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V))) = (inv` +h ))
14	10, 13	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V))) = (inv` +h )
15		hhssabl.1	. . . . . 6 |- H e. SH
16	15	shssi 9002	. . . . 5 |- H (_ H~
17		eqid 1468	. . . . 5 |- ( +h |` (H X. H)) = ( +h |` (H X. H))
18		shaddclt 9006	. . . . . 6 |- ((H e. SH /\ x e. H /\ y e. H) -> (x +h y) e. H)
19	15, 18	mp3an1 900	. . . . 5 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x +h y) e. H)
20		sh0 9005	. . . . . 6 |- (H e. SH -> 0h e. H)
21	15, 20	ax-mp 7	. . . . 5 |- 0h e. H
22		ax-hfvmul 8796	. . . . . . . 8 |- .h :(CC X. H~)-->H~
23		ffn 3613	. . . . . . . 8 |- ( .h :(CC X. H~)-->H~ -> .h Fn (CC X. H~))
24	22, 23	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- .h Fn (CC X. H~)
25		ax1cn 5241	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
26	25	negcl 5341	. . . . . . 7 |- -u1 e. CC
27	12	curry1val 4084	. . . . . . 7 |- (( .h Fn (CC X. H~) /\ -u1 e. CC /\ x e. H) -> (( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V)))` x) = (-u1 .h x))
28	24, 26, 27	mp3an12 903	. . . . . 6 |- (x e. H -> (( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V)))` x) = (-u1 .h x))
29		shmulclt 9008	. . . . . . 7 |- ((H e. SH /\ -u1 e. CC /\ x e. H) -> (-u1 .h x) e. H)
30	15, 26, 29	mp3an12 903	. . . . . 6 |- (x e. H -> (-u1 .h x) e. H)
31	28, 30	eqeltrd 1540	. . . . 5 |- (x e. H -> (( .h o. `'(2nd |` ({-u1} X. V)))` x) e. H)
32	3, 7, 9, 14, 16, 17, 19, 21, 31	issubgi 8059	. . . 4 |- ( +h |` (H X. H)) e. (SubGrp` +h )
33		issubg 8053	. . . 4 |- (( +h |` (H X. H)) e. (SubGrp` +h ) <-> ( +h e. Grp /\ ( +h |` (H X. H)) e. Grp /\ ( +h |` (H X. H)) (_ +h ))
34	32, 33	mpbi 189	. . 3 |- ( +h e. Grp /\ ( +h |` (H X. H)) e. Grp /\ ( +h |` (H X. H)) (_ +h )
35	34	3simp2i 790	. 2 |- ( +h |` (H X. H)) e. Grp
36		ssxp 3246	. . . . 5 |- ((H (_ H~ /\ H (_ H~) -> (H X. H) (_ (H~ X. H~))
37	16, 16, 36	mp2an 695	. . . 4 |- (H X. H) (_ (H~ X. H~)
38		ax-hfvadd 8791	. . . . 5 |- +h :(H~ X. H~)-->H~
39		fdm 3617	. . . . 5 |- ( +h :(H~ X. H~)-->H~ -> dom +h = (H~ X. H~))
40	38, 39	ax-mp 7	. . . 4 |- dom +h = (H~ X. H~)
41	37, 40	sseqtr4 2084	. . 3 |- (H X. H) (_ dom +h
42		ssdmres 3365	. . 3 |- ((H X. H) (_ dom +h <-> dom ( +h |` (H X. H)) = (H X. H))
43	41, 42	mpbi 189	. 2 |- dom ( +h |` (H X. H)) = (H X. H)
44		ax-hvcom 8792	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x +h y) = (y +h x))
45	15	shel 9003	. . . 4 |- (x e. H -> x e. H~)
46	15	shel 9003	. . . 4 |- (y e. H -> y e. H~)
47	44, 45, 46	syl2an 454	. . 3 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x +h y) = (y +h x))
48		oprvalres 4018	. . 3 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x( +h |` (H X. H))y) = (x +h y))
49		oprvalres 4018	. . . 4 |- ((y e. H /\ x e. H) -> (y( +h |` (H X. H))x) = (y +h x))
50	49	ancoms 436	. . 3 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (y( +h |` (H X. H))x) = (y +h x))
51	47, 48, 50	3eqtr4d 1509	. 2 |- ((x e. H /\ y e. H) -> (x( +h |` (H X. H))y) = (y( +h |` (H X. H))x))
52	35, 43, 51	isabli 8043	1 |- ( +h |` (H X. H)) e. Abel

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802   (_ wss 2037  {csn 2399  <.cop 2401   X. cxp 3158  `'ccnv 3159  dom cdm 3160   |` cres 3162   o. ccom 3164   Fn wfn 3167  -->wf 3168  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  2ndc2nd 4062  CCcc 5204  1c1 5207  -ucneg 5265  Grpcgr 7967  invcgn 7969  Abelcabl 8035  SubGrpcsubg 8051  NrmCVeccnv 8141  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729  0hc0v 8730  normhcno 8733  SHcsh 8736

This theorem is referenced by:  hhssnv 9054

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-abl 8036  df-subg 8052  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-nm 8157  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-sh 8997

Copyright terms: Public domain