Theorem hhshsslem1 9057

Description: Lemma for hhsssh 9059.

Hypotheses

Ref	Expression
hhsst.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.
hhsst.2	|- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
hhssp3.3	|- W e. (SubSp` U)
hhssp3.4	|- H (_ H~

Assertion

Ref	Expression
hhshsslem1	|- H = (Base` W)

Proof of Theorem hhshsslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1468	. . . 4 |- (Base` W) = (Base` W)
2		eqid 1468	. . . 4 |- (+v` W) = (+v` W)
3	1, 2	bafval 8161	. . 3 |- (Base` W) = ran (+v` W)
4		hhsst.1	. . . . . . . 8 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
5	4	hhnv 8953	. . . . . . 7 |- U e. NrmCVec
6		hhssp3.3	. . . . . . 7 |- W e. (SubSp` U)
7		eqid 1468	. . . . . . . 8 |- (SubSp` U) = (SubSp` U)
8	7	sspnv 8319	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ W e. (SubSp` U)) -> W e. NrmCVec)
9	5, 6, 8	mp2an 695	. . . . . 6 |- W e. NrmCVec
10	2	nvgrp 8176	. . . . . 6 |- (W e. NrmCVec -> (+v` W) e. Grp)
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . 5 |- (+v` W) e. Grp
12		grprndm 7988	. . . . 5 |- ((+v` W) e. Grp -> ran (+v` W) = dom dom (+v` W))
13	11, 12	ax-mp 7	. . . 4 |- ran (+v` W) = dom dom (+v` W)
14		hhsst.2	. . . . . . . . 9 |- W = <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.
15	14	fveq2i 3712	. . . . . . . 8 |- (+v` W) = (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)
16		eqid 1468	. . . . . . . . . 10 |- (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)
17	16	vafval 8160	. . . . . . . . 9 |- (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = (1st` (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.))
18		opex 2772	. . . . . . . . . . . 12 |- <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>. e. V
19	18	op1st 4069	. . . . . . . . . . 11 |- (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.
20	19	fveq2i 3712	. . . . . . . . . 10 |- (1st` (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)) = (1st` <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.)
21		hilabl 8948	. . . . . . . . . . . 12 |- +h e. Abel
22		resexg 3378	. . . . . . . . . . . 12 |- ( +h e. Abel -> ( +h |` (H X. H)) e. V)
23	21, 22	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- ( +h |` (H X. H)) e. V
24	23	op1st 4069	. . . . . . . . . 10 |- (1st` <.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>.) = ( +h |` (H X. H))
25	20, 24	eqtr 1487	. . . . . . . . 9 |- (1st` (1st` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.)) = ( +h |` (H X. H))
26	17, 25	eqtr 1487	. . . . . . . 8 |- (+v` <.<.( +h |` (H X. H)), ( .h |` (CC X. H))>., (normh |` H)>.) = ( +h |` (H X. H))
27	15, 26	eqtr 1487	. . . . . . 7 |- (+v` W) = ( +h |` (H X. H))
28	27	dmeqi 3301	. . . . . 6 |- dom (+v` W) = dom ( +h |` (H X. H))
29		hhssp3.4	. . . . . . . . 9 |- H (_ H~
30		ssxp 3246	. . . . . . . . 9 |- ((H (_ H~ /\ H (_ H~) -> (H X. H) (_ (H~ X. H~))
31	29, 29, 30	mp2an 695	. . . . . . . 8 |- (H X. H) (_ (H~ X. H~)
32		ax-hfvadd 8791	. . . . . . . . 9 |- +h :(H~ X. H~)-->H~
33		fdm 3617	. . . . . . . . 9 |- ( +h :(H~ X. H~)-->H~ -> dom +h = (H~ X. H~))
34	32, 33	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- dom +h = (H~ X. H~)
35	31, 34	sseqtr4 2084	. . . . . . 7 |- (H X. H) (_ dom +h
36		ssdmres 3365	. . . . . . 7 |- ((H X. H) (_ dom +h <-> dom ( +h |` (H X. H)) = (H X. H))
37	35, 36	mpbi 189	. . . . . 6 |- dom ( +h |` (H X. H)) = (H X. H)
38	28, 37	eqtr 1487	. . . . 5 |- dom (+v` W) = (H X. H)
39	38	dmeqi 3301	. . . 4 |- dom dom (+v` W) = dom ( H X. H)
40		dmxpid 3322	. . . 4 |- dom ( H X. H) = H
41	13, 39, 40	3eqtr 1491	. . 3 |- ran (+v` W) = H
42	3, 41	eqtr 1487	. 2 |- (Base` W) = H
43	42	eqcomi 1471	1 |- H = (Base` W)

Syntax hints:   = wceq 953   e. wcel 955  Vcvv 1802   (_ wss 2037  <.cop 2401   X. cxp 3158  dom cdm 3160  ran crn 3161   |` cres 3162  -->wf 3168  ` cfv 3172  1stc1st 4061  CCcc 5204  Grpcgr 7967  Abelcabl 8035  NrmCVeccnv 8141  +vcpv 8142  Basecba 8143  SubSpcss 8314  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729  normhcno 8733

This theorem is referenced by:  hhshsslem2 9058  hhssba 9060

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-n0 6047  df-z 6083  df-seq1 6245  df-exp 6501  df-sqr 6600  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-abs 6685  df-grp 7971  df-gid 7972  df-ginv 7973  df-abl 8036  df-vc 8102  df-nv 8149  df-va 8152  df-ba 8153  df-sm 8154  df-0v 8155  df-nm 8157  df-ssp 8315  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779

Copyright terms: Public domain