Theorem hhph 8984

Description: The Hilbert space of the Hilbert Space Explorer is an inner product space.

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.

Assertion

Ref	Expression
hhph	|- U e. CPreHil

Proof of Theorem hhph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilabl 8966	. . . 4 |- +h e. Abel
2	1	elisseti 1814	. . 3 |- +h e. V
3		hvmulex 8820	. . 3 |- .h e. V
4		normf 8928	. . . 4 |- normh:H~-->RR
5		ax-hilex 8808	. . . 4 |- H~ e. V
6		fex 3643	. . . 4 |- ((normh:H~-->RR /\ H~ e. V) -> normh e. V)
7	4, 5, 6	mp2an 696	. . 3 |- normh e. V
8		ablgrp 8053	. . . . . . 7 |- ( +h e. Abel -> +h e. Grp)
9	1, 8	ax-mp 7	. . . . . 6 |- +h e. Grp
10		ax-hfvadd 8809	. . . . . 6 |- +h :(H~ X. H~)-->H~
11	9, 10	grprnOLD 8007	. . . . 5 |- H~ = ran +h
12	11	isphg 8420	. . . 4 |- (( +h e. V /\ .h e. V /\ normh e. V) -> (<.<. +h , .h >., normh>. e. CPreHil <-> (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))))))
13		hhnv.1	. . . . 5 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
14	13	eleq1i 1534	. . . 4 |- (U e. CPreHil <-> <.<. +h , .h >., normh>. e. CPreHil)
15	12, 14	syl5bb 531	. . 3 |- (( +h e. V /\ .h e. V /\ normh e. V) -> (U e. CPreHil <-> (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))))))
16	2, 3, 7, 15	mp3an 914	. 2 |- (U e. CPreHil <-> (<.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec /\ A.x e. H~ A.y e. H~ (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2)))))
17		eqid 1473	. . 3 |- <.<. +h , .h >., normh>. = <.<. +h , .h >., normh>.
18	17	hhnv 8971	. 2 |- <.<. +h , .h >., normh>. e. NrmCVec
19		normpart 8961	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
20		hvsubvalt 8825	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x -h y) = (x +h (-u1 .h y)))
21	20	fveq2d 3719	. . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (normh` (x -h y)) = (normh` (x +h (-u1 .h y))))
22	21	opreq1d 3966	. . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((normh` (x -h y))^2) = ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2))
23	22	opreq2d 3967	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x -h y))^2)) = (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)))
24		axaddcom 5255	. . . . . 6 |- ((((normh` (x +h y))^2) e. CC /\ ((normh` (x -h y))^2) e. CC) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x -h y))^2)) = (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)))
25		hvaddclt 8821	. . . . . . . . 9 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x +h y) e. H~)
26		normclt 8930	. . . . . . . . 9 |- ((x +h y) e. H~ -> (normh` (x +h y)) e. RR)
27	25, 26	syl 10	. . . . . . . 8 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (normh` (x +h y)) e. RR)
28	27	recnd 5295	. . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (normh` (x +h y)) e. CC)
29		sqclt 6550	. . . . . . 7 |- ((normh` (x +h y)) e. CC -> ((normh` (x +h y))^2) e. CC)
30	28, 29	syl 10	. . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((normh` (x +h y))^2) e. CC)
31		hvsubclt 8826	. . . . . . 7 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x -h y) e. H~)
32		normclt 8930	. . . . . . . 8 |- ((x -h y) e. H~ -> (normh` (x -h y)) e. RR)
33	32	recnd 5295	. . . . . . 7 |- ((x -h y) e. H~ -> (normh` (x -h y)) e. CC)
34		sqclt 6550	. . . . . . 7 |- ((normh` (x -h y)) e. CC -> ((normh` (x -h y))^2) e. CC)
35	31, 33, 34	3syl 20	. . . . . 6 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> ((normh` (x -h y))^2) e. CC)
36	24, 30, 35	sylanc 471	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x -h y))^2)) = (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)))
37	23, 36	eqtr3d 1506	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (((normh` (x -h y))^2) + ((normh` (x +h y))^2)))
38		2cn 5935	. . . . . 6 |- 2 e. CC
39		axdistr 5259	. . . . . 6 |- ((2 e. CC /\ ((normh` x)^2) e. CC /\ ((normh` y)^2) e. CC) -> (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
40	38, 39	mp3an1 901	. . . . 5 |- ((((normh` x)^2) e. CC /\ ((normh` y)^2) e. CC) -> (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
41		normclt 8930	. . . . . . 7 |- (x e. H~ -> (normh` x) e. RR)
42	41	recnd 5295	. . . . . 6 |- (x e. H~ -> (normh` x) e. CC)
43		sqclt 6550	. . . . . 6 |- ((normh` x) e. CC -> ((normh` x)^2) e. CC)
44	42, 43	syl 10	. . . . 5 |- (x e. H~ -> ((normh` x)^2) e. CC)
45		normclt 8930	. . . . . . 7 |- (y e. H~ -> (normh` y) e. RR)
46	45	recnd 5295	. . . . . 6 |- (y e. H~ -> (normh` y) e. CC)
47		sqclt 6550	. . . . . 6 |- ((normh` y) e. CC -> ((normh` y)^2) e. CC)
48	46, 47	syl 10	. . . . 5 |- (y e. H~ -> ((normh` y)^2) e. CC)
49	40, 44, 48	syl2an 454	. . . 4 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))) = ((2 x. ((normh` x)^2)) + (2 x. ((normh` y)^2))))
50	19, 37, 49	3eqtr4d 1514	. . 3 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2))))
51	50	rgen2a 1696	. 2 |- A.x e. H~ A.y e. H~ (((normh` (x +h y))^2) + ((normh` (x +h (-u1 .h y)))^2)) = (2 x. (((normh` x)^2) + ((normh` y)^2)))
52	16, 18, 51	mpbir2an 729	1 |- U e. CPreHil

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  A.wral 1642  Vcvv 1807  <.cop 2407  -->wf 3173  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219  -ucneg 5273  2c2 5916  ^cexp 6508  Grpcgr 7983  Abelcabl 8050  NrmCVeccnv 8155  CPreHilcphl 8415  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729   -h cmv 8731  normhcno 8733

This theorem is referenced by:  bcsHIL 8986  hhhl 9012  hhssph 9083

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvmulass 8816  ax-hvdistr1 8817  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his2 8889  ax-his3 8890  ax-his4 8891

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq