Theorem hhnv 8971

Description: Hilbert space is a normed complex vector space.

Hypothesis

Ref	Expression
hhnv.1	|- U = <.<. +h , .h >., normh>.

Assertion

Ref	Expression
hhnv	|- U e. NrmCVec

Proof of Theorem hhnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilabl 8966	. . . 4 |- +h e. Abel
2		ablgrp 8053	. . . 4 |- ( +h e. Abel -> +h e. Grp)
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- +h e. Grp
4		ax-hfvadd 8809	. . 3 |- +h :(H~ X. H~)-->H~
5	3, 4	grprnOLD 8007	. 2 |- H~ = ran +h
6		hilid 8967	. . 3 |- (Id` +h ) = 0h
7	6	eqcomi 1476	. 2 |- 0h = (Id` +h )
8		hilvc 8968	. 2 |- <. +h , .h >. e. CVec
9		normf 8928	. 2 |- normh:H~-->RR
10		norm-it 8935	. . 3 |- (x e. H~ -> ((normh` x) = 0 <-> x = 0h))
11	10	biimpa 416	. 2 |- ((x e. H~ /\ (normh` x) = 0) -> x = 0h)
12		norm-iiit 8946	. 2 |- ((y e. CC /\ x e. H~) -> (normh` (y .h x)) = ((abs` y) x. (normh` x)))
13		norm-iit 8944	. 2 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (normh` (x +h y)) <_ ((normh` x) + (normh` y)))
14		hhnv.1	. 2 |- U = <.<. +h , .h >., normh>.
15	5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14	isnvi 8184	1 |- U e. NrmCVec

Syntax hints:   = wceq 954   e. wcel 956  <.cop 2407  ` cfv 3177  0cc0 5214  Grpcgr 7983  Idcgi 7984  Abelcabl 8050  NrmCVeccnv 8155  H~chil 8727   +h cva 8728   .h csm 8729  0hc0v 8730  normhcno 8733

This theorem is referenced by:  hhva 8972  hhsm 8975  hhvs 8976  hhnm 8977  hhims 8978  hhmet 8980  hhmetba 8981  hhmetdval 8982  hhip 8983  hhph 8984  hhlm 9006  hhcau 9007  hhhl 9012  hhssabl 9071  hhsst 9075  hhshsslem1 9076  hhshsslem2 9077  hhsssh 9078  hhsssh2 9079  hhssvs 9081  nmopsetretHIL 9731  hhlno 9766  hhnmo 9767  hhblo 9768  hh0o 9769  nmlnop0HIL 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvmulass 8816  ax-hvdistr1 8817  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his2 8889  ax-his3 8890  ax-his4 8891

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-grp 7987  df-gid 7988  df-ginv 7989  df-abl 8051  df-vc 8117  df-nv 8163  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779

Copyright terms: Public domain