Theorem helch 9116

Description: The unit Hilbert lattice element (which is all of Hilbert space) belongs to the Hilbert lattice. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65.

Assertion

Ref	Expression
helch	|- H~ e. CH

Proof of Theorem helch

Step	Hyp	Ref	Expression
1		closedsub 9093	. 2 |- (H~ e. CH <-> (H~ e. SH /\ A.fA.x((f:NN-->H~ /\ f ~~>v x) -> x e. H~)))
2		sh 9078	. . 3 |- (H~ e. SH <-> ((H~ (_ H~ /\ 0h e. H~) /\ (A.x e. H~ A.y e. H~ (x +h y) e. H~ /\ A.x e. CC A.y e. H~ (x .h y) e. H~)))
3		ssid 2080	. . . 4 |- H~ (_ H~
4		ax-hv0cl 8873	. . . 4 |- 0h e. H~
5	3, 4	pm3.2i 285	. . 3 |- (H~ (_ H~ /\ 0h e. H~)
6		hvaddclt 8882	. . . . 5 |- ((x e. H~ /\ y e. H~) -> (x +h y) e. H~)
7	6	rgen2a 1699	. . . 4 |- A.x e. H~ A.y e. H~ (x +h y) e. H~
8		hvmulclt 8883	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ y e. H~) -> (x .h y) e. H~)
9	8	rgen2 1723	. . . 4 |- A.x e. CC A.y e. H~ (x .h y) e. H~
10	7, 9	pm3.2i 285	. . 3 |- (A.x e. H~ A.y e. H~ (x +h y) e. H~ /\ A.x e. CC A.y e. H~ (x .h y) e. H~)
11	2, 5, 10	mpbir2an 730	. 2 |- H~ e. SH
12		visset 1813	. . . . 5 |- f e. V
13		visset 1813	. . . . 5 |- x e. V
14	12, 13	hlimvec 9058	. . . 4 |- (f ~~>v x -> x e. H~)
15	14	adantl 388	. . 3 |- ((f:NN-->H~ /\ f ~~>v x) -> x e. H~)
16	15	gen2 983	. 2 |- A.fA.x((f:NN-->H~ /\ f ~~>v x) -> x e. H~)
17	1, 11, 16	mpbir2an 730	1 |- H~ e. CH

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   e. wcel 958  A.wral 1645   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  -->wf 3178  (class class class)co 3963  CCcc 5232  NNcn 5296  H~chil 8788   +h cva 8789   .h csm 8790  0hc0v 8791   ~~>v chli 8796  SHcsh 8797  CHcch 8798

This theorem is referenced by:  helsh 9117  pjtht 9234  pjtheut 9236  ococt 9248  axpjpjt 9256  pjoc1t 9267  ococint 9297  hsupval2t 9300  shlubt 9354  chj1 9412  chinclt 9422  chsscon3t 9423  chjot 9438  chdmm1t 9448  chjasst 9456  hne0 9470  pjoml3t 9555  osumt 9588  spansnjt 9592  spansncvt 9598  pjch1t 9615  pjot 9616  pjsslem 9624  pjcjt2 9637  pjcht 9639  pjopytht 9665  pjnormt 9669  pjpytht 9670  pjnelt 9671  ho0valt 9676  dfiop2 9679  hoid1 9715  hoid1r 9716  pjtot 10107  pjoc 10108  pjclem3 10125  hst0t 10160  st0 10176  strlem3a 10179  hstrlem3a 10187  stcltr2 10202  cvmdt 10263  chrelat2t 10297  cvexcht 10301  mdsymt 10339

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hv0cl 8873  ax-hfvmul 8875

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-opr 3965  df-hlim 8841  df-sh 9076  df-ch 9092

Copyright terms: Public domain