Theorem hcau 9051

Description: Member of the set of Cauchy sequences on a Hilbert space. Definition for Cauchy sequence in [Beran] p. 96.

Assertion

Ref	Expression
hcau	|- (F e. Cauchy <-> (F:NN-->H~ /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((F` z) -h (F` w))) < x))))

Distinct variable group:   x,y,z,w,F

Proof of Theorem hcau

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 1817	. 2 |- (F e. Cauchy -> F e. V)
2		nnex 5933	. . . 4 |- NN e. V
3		fex 3652	. . . 4 |- ((F:NN-->H~ /\ NN e. V) -> F e. V)
4	2, 3	mpan2 696	. . 3 |- (F:NN-->H~ -> F e. V)
5	4	adantr 389	. 2 |- ((F:NN-->H~ /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((F` z) -h (F` w))) < x))) -> F e. V)
6		feq1 3620	. . . 4 |- (f = F -> (f:NN-->H~ <-> F:NN-->H~))
7		fveq1 3723	. . . . . . . . . . . 12 |- (f = F -> (f` z) = (F` z))
8		fveq1 3723	. . . . . . . . . . . 12 |- (f = F -> (f` w) = (F` w))
9	7, 8	opreq12d 3978	. . . . . . . . . . 11 |- (f = F -> ((f` z) -h (f` w)) = ((F` z) -h (F` w)))
10	9	fveq2d 3728	. . . . . . . . . 10 |- (f = F -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) = (normh` ((F` z) -h (F` w))))
11	10	breq1d 2629	. . . . . . . . 9 |- (f = F -> ((normh` ((f` z) -h (f` w))) < x <-> (normh` ((F` z) -h (F` w))) < x))
12	11	imbi2d 612	. . . . . . . 8 |- (f = F -> (((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x) <-> ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((F` z) -h (F` w))) < x)))
13	12	2ralbidv 1680	. . . . . . 7 |- (f = F -> (A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x) <-> A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((F` z) -h (F` w))) < x)))
14	13	rexbidv 1664	. . . . . 6 |- (f = F -> (E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x) <-> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((F` z) -h (F` w))) < x)))
15	14	imbi2d 612	. . . . 5 |- (f = F -> ((0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x)) <-> (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((F` z) -h (F` w))) < x))))
16	15	ralbidv 1663	. . . 4 |- (f = F -> (A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x)) <-> A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((F` z) -h (F` w))) < x))))
17	6, 16	anbi12d 628	. . 3 |- (f = F -> ((f:NN-->H~ /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x))) <-> (F:NN-->H~ /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((F` z) -h (F` w))) < x)))))
18		df-hcau 8842	. . 3 |- Cauchy = {f | (f:NN-->H~ /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((f` z) -h (f` w))) < x)))}
19	17, 18	elab2g 1900	. 2 |- (F e. V -> (F e. Cauchy <-> (F:NN-->H~ /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((F` z) -h (F` w))) < x)))))
20	1, 5, 19	pm5.21nii 679	1 |- (F e. Cauchy <-> (F:NN-->H~ /\ A.x e. RR (0 < x -> E.y e. NN A.z e. NN A.w e. NN ((y <_ z /\ y <_ w) -> (normh` ((F` z) -h (F` w))) < x))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  E.wrex 1646  Vcvv 1811   class class class wbr 2619  -->wf 3178  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  0cc0 5234   <_ cle 5295  NNcn 5296   < clt 5486  H~chil 8788   -h cmv 8792  normhcno 8794  Cauchyccau 8795

This theorem is referenced by:  hcauseq 9052  hcaucvg 9053  seq1hcau 9054  hcau2 9055  hlimcaui 9106  projlem29 9214

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-n 5925  df-hcau 8842

Copyright terms: Public domain