Theorem hbopr 3981

Description: Bound-variable hypothesis builder for operation value.

Hypotheses

Ref	Expression
hbopr.1	|- (y e. A -> A.x y e. A)
hbopr.2	|- (y e. F -> A.x y e. F)
hbopr.3	|- (y e. B -> A.x y e. B)

Assertion

Ref	Expression
hbopr	|- (y e. (AFB) -> A.x y e. (AFB))

Distinct variable groups:   y,F   y,A   y,B   x,y

Proof of Theorem hbopr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-opr 3965	. 2 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
2		hbopr.2	. . 3 |- (y e. F -> A.x y e. F)
3		hbopr.1	. . . 4 |- (y e. A -> A.x y e. A)
4		hbopr.3	. . . 4 |- (y e. B -> A.x y e. B)
5	3, 4	hbop 2496	. . 3 |- (y e. <.A, B>. -> A.x y e. <.A, B>.)
6	2, 5	hbfv 3729	. 2 |- (y e. (F` <.A, B>.) -> A.x y e. (F` <.A, B>.))
7	1, 6	hbxfr 1563	1 |- (y e. (AFB) -> A.x y e. (AFB))

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 954   e. wcel 958  <.cop 2411  ` cfv 3182  (class class class)co 3963

This theorem is referenced by:  hboprd 3982  csboprg 3986  elrnoprabg 4124  oawordeulem 4188  hbneg 5362  om2uzsuc 6296  hbsum1 6983  hbsum 6984  isummulc1a 7214  fsum0diaglem2 7257  fsum0diag 7258  fsum0diag2 7259  fsum0diag4 7261  minvecdist 8585  cnlnadjlem5 10004

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-opr 3965

Copyright terms: Public domain