Theorem hbopab 2812

Description: Bound-variable hypothesis builder for class abstraction.

Hypothesis

Ref	Expression
hbopab.1	|- (ph -> A.zph)

Assertion

Ref	Expression
hbopab	|- (w e. {<.x, y>. | ph} -> A.z w e. {<.x, y>. | ph})

Distinct variable groups:   x,z,w   y,z,w

Proof of Theorem hbopab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 971	. . . . 5 |- (w = <.x, y>. -> A.z w = <.x, y>.)
2		hbopab.1	. . . . 5 |- (ph -> A.zph)
3	1, 2	hban 1009	. . . 4 |- ((w = <.x, y>. /\ ph) -> A.z(w = <.x, y>. /\ ph))
4	3	hbex 1006	. . 3 |- (E.y(w = <.x, y>. /\ ph) -> A.zE.y(w = <.x, y>. /\ ph))
5	4	hbex 1006	. 2 |- (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph) -> A.zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph))
6		elopab 2811	. 2 |- (w e. {<.x, y>. | ph} <-> E.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph))
7	6	albii 999	. 2 |- (A.z w e. {<.x, y>. | ph} <-> A.zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ ph))
8	5, 6, 7	3imtr4 219	1 |- (w e. {<.x, y>. | ph} -> A.z w e. {<.x, y>. | ph})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  <.cop 2411  {copab 2666

This theorem is referenced by:  hbco 3287  hbrdg 3936  mapxpen 4495  tz9.12lem3 4661  hbsum 6984

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-opab 2667

Copyright terms: Public domain