Theorem hbco 3287

Description: Bound-variable hypothesis builder for function value.

Hypotheses

Ref	Expression
hbco.1	|- (y e. A -> A.x y e. A)
hbco.2	|- (y e. B -> A.x y e. B)

Assertion

Ref	Expression
hbco	|- (y e. (A o. B) -> A.x y e. (A o. B))

Distinct variable groups:   y,A   y,B   x,y

Proof of Theorem hbco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-co 3187	. 2 |- (A o. B) = {<.z, w>. | E.v(zBv /\ vAw)}
2		ax-17 971	. . . . . 6 |- (y e. z -> A.x y e. z)
3		hbco.2	. . . . . 6 |- (y e. B -> A.x y e. B)
4		ax-17 971	. . . . . 6 |- (y e. v -> A.x y e. v)
5	2, 3, 4	hbbr 2658	. . . . 5 |- (zBv -> A.x zBv)
6		hbco.1	. . . . . 6 |- (y e. A -> A.x y e. A)
7		ax-17 971	. . . . . 6 |- (y e. w -> A.x y e. w)
8	4, 6, 7	hbbr 2658	. . . . 5 |- (vAw -> A.x vAw)
9	5, 8	hban 1009	. . . 4 |- ((zBv /\ vAw) -> A.x(zBv /\ vAw))
10	9	hbex 1006	. . 3 |- (E.v(zBv /\ vAw) -> A.xE.v(zBv /\ vAw))
11	10	hbopab 2812	. 2 |- (y e. {<.z, w>. | E.v(zBv /\ vAw)} -> A.x y e. {<.z, w>. | E.v(zBv /\ vAw)})
12	1, 11	hbxfr 1563	1 |- (y e. (A o. B) -> A.x y e. (A o. B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   e. wcel 958  E.wex 980   class class class wbr 2619  {copab 2666   o. ccom 3174

This theorem is referenced by:  hbfun 3536  fopabco 3832  ac6lem 4754

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-co 3187

Copyright terms: Public domain