Theorem halfpq 5062

Description: One-half of any positive fraction exists. Lemma for Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120.

Assertion

Ref	Expression
halfpq	|- (A e. Q. -> E.x(x +Q x) = A)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem halfpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 5018	. 2 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
2		eqeq2 1481	. . 3 |- ([<.y, z>.] ~Q = A -> ((x +Q x) = [<.y, z>.] ~Q <-> (x +Q x) = A))
3	2	exbidv 1277	. 2 |- ([<.y, z>.] ~Q = A -> (E.x(x +Q x) = [<.y, z>.] ~Q <-> E.x(x +Q x) = A))
4		addpipq 5034	. . . . . 6 |- (((y e. N. /\ (z +N z) e. N.) /\ (y e. N. /\ (z +N z) e. N.)) -> ([<.y, (z +N z)>.] ~Q +Q [<.y, (z +N z)>.] ~Q ) = [<.((y .N (z +N z)) +N ((z +N z) .N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.] ~Q )
5		visset 1809	. . . . . . . . . 10 |- y e. V
6	5, 5	distrpi 5006	. . . . . . . . 9 |- ((z +N z) .N (y +N y)) = (((z +N z) .N y) +N ((z +N z) .N y))
7		oprex 3974	. . . . . . . . . . 11 |- (z +N z) e. V
8	5, 7	mulcompi 5004	. . . . . . . . . 10 |- (y .N (z +N z)) = ((z +N z) .N y)
9	8	opreq1i 3962	. . . . . . . . 9 |- ((y .N (z +N z)) +N ((z +N z) .N y)) = (((z +N z) .N y) +N ((z +N z) .N y))
10	6, 9	eqtr4 1495	. . . . . . . 8 |- ((z +N z) .N (y +N y)) = ((y .N (z +N z)) +N ((z +N z) .N y))
11	10	opeq1i 2486	. . . . . . 7 |- <.((z +N z) .N (y +N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>. = <.((y .N (z +N z)) +N ((z +N z) .N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.
12		eceq2 4268	. . . . . . 7 |- (<.((z +N z) .N (y +N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>. = <.((y .N (z +N z)) +N ((z +N z) .N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>. -> [<.((z +N z) .N (y +N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.] ~Q = [<.((y .N (z +N z)) +N ((z +N z) .N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.] ~Q )
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . 6 |- [<.((z +N z) .N (y +N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.] ~Q = [<.((y .N (z +N z)) +N ((z +N z) .N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.] ~Q
14	4, 13	syl6eqr 1522	. . . . 5 |- (((y e. N. /\ (z +N z) e. N.) /\ (y e. N. /\ (z +N z) e. N.)) -> ([<.y, (z +N z)>.] ~Q +Q [<.y, (z +N z)>.] ~Q ) = [<.((z +N z) .N (y +N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.] ~Q )
15		addclpi 5000	. . . . . . 7 |- ((z e. N. /\ z e. N.) -> (z +N z) e. N.)
16	15	anidms 434	. . . . . 6 |- (z e. N. -> (z +N z) e. N.)
17	16	anim2i 335	. . . . 5 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> (y e. N. /\ (z +N z) e. N.))
18	14, 17, 17	sylanc 471	. . . 4 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> ([<.y, (z +N z)>.] ~Q +Q [<.y, (z +N z)>.] ~Q ) = [<.((z +N z) .N (y +N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.] ~Q )
19		oprex 3974	. . . . . 6 |- (y +N y) e. V
20	7, 19, 7	distrpqlem 5046	. . . . 5 |- (((z +N z) e. N. /\ (y +N y) e. N. /\ (z +N z) e. N.) -> [<.((z +N z) .N (y +N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.] ~Q = [<.(y +N y), (z +N z)>.] ~Q )
21	16	adantl 388	. . . . 5 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> (z +N z) e. N.)
22		addclpi 5000	. . . . . . 7 |- ((y e. N. /\ y e. N.) -> (y +N y) e. N.)
23	22	anidms 434	. . . . . 6 |- (y e. N. -> (y +N y) e. N.)
24	23	adantr 389	. . . . 5 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> (y +N y) e. N.)
25	20, 21, 24, 21	syl3anc 857	. . . 4 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> [<.((z +N z) .N (y +N y)), ((z +N z) .N (z +N z))>.] ~Q = [<.(y +N y), (z +N z)>.] ~Q )
26		mulidpi 4994	. . . . . . . . 9 |- (y e. N. -> (y .N 1o) = y)
27	26, 26	opreq12d 3969	. . . . . . . 8 |- (y e. N. -> ((y .N 1o) +N (y .N 1o)) = (y +N y))
28		oprex 3974	. . . . . . . . . 10 |- (1o +N 1o) e. V
29	5, 28	mulcompi 5004	. . . . . . . . 9 |- (y .N (1o +N 1o)) = ((1o +N 1o) .N y)
30		1pi 4991	. . . . . . . . . . 11 |- 1o e. N.
31	30	elisseti 1814	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. V
32	31, 31	distrpi 5006	. . . . . . . . 9 |- (y .N (1o +N 1o)) = ((y .N 1o) +N (y .N 1o))
33	29, 32	eqtr3 1494	. . . . . . . 8 |- ((1o +N 1o) .N y) = ((y .N 1o) +N (y .N 1o))
34	27, 33	syl5eq 1516	. . . . . . 7 |- (y e. N. -> ((1o +N 1o) .N y) = (y +N y))
35		mulidpi 4994	. . . . . . . . 9 |- (z e. N. -> (z .N 1o) = z)
36	35, 35	opreq12d 3969	. . . . . . . 8 |- (z e. N. -> ((z .N 1o) +N (z .N 1o)) = (z +N z))
37		visset 1809	. . . . . . . . . 10 |- z e. V
38	37, 28	mulcompi 5004	. . . . . . . . 9 |- (z .N (1o +N 1o)) = ((1o +N 1o) .N z)
39	31, 31	distrpi 5006	. . . . . . . . 9 |- (z .N (1o +N 1o)) = ((z .N 1o) +N (z .N 1o))
40	38, 39	eqtr3 1494	. . . . . . . 8 |- ((1o +N 1o) .N z) = ((z .N 1o) +N (z .N 1o))
41	36, 40	syl5eq 1516	. . . . . . 7 |- (z e. N. -> ((1o +N 1o) .N z) = (z +N z))
42	34, 41	anim12i 333	. . . . . 6 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> (((1o +N 1o) .N y) = (y +N y) /\ ((1o +N 1o) .N z) = (z +N z)))
43		opeq12 2485	. . . . . 6 |- ((((1o +N 1o) .N y) = (y +N y) /\ ((1o +N 1o) .N z) = (z +N z)) -> <.((1o +N 1o) .N y), ((1o +N 1o) .N z)>. = <.(y +N y), (z +N z)>.)
44		eceq2 4268	. . . . . 6 |- (<.((1o +N 1o) .N y), ((1o +N 1o) .N z)>. = <.(y +N y), (z +N z)>. -> [<.((1o +N 1o) .N y), ((1o +N 1o) .N z)>.] ~Q = [<.(y +N y), (z +N z)>.] ~Q )
45	42, 43, 44	3syl 20	. . . . 5 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> [<.((1o +N 1o) .N y), ((1o +N 1o) .N z)>.] ~Q = [<.(y +N y), (z +N z)>.] ~Q )
46		addclpi 5000	. . . . . . 7 |- ((1o e. N. /\ 1o e. N.) -> (1o +N 1o) e. N.)
47	30, 30, 46	mp2an 696	. . . . . 6 |- (1o +N 1o) e. N.
48	28, 5, 37	distrpqlem 5046	. . . . . 6 |- (((1o +N 1o) e. N. /\ y e. N. /\ z e. N.) -> [<.((1o +N 1o) .N y), ((1o +N 1o) .N z)>.] ~Q = [<.y, z>.] ~Q )
49	47, 48	mp3an1 901	. . . . 5 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> [<.((1o +N 1o) .N y), ((1o +N 1o) .N z)>.] ~Q = [<.y, z>.] ~Q )
50	45, 49	eqtr3d 1506	. . . 4 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> [<.(y +N y), (z +N z)>.] ~Q = [<.y, z>.] ~Q )
51	18, 25, 50	3eqtrd 1508	. . 3 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> ([<.y, (z +N z)>.] ~Q +Q [<.y, (z +N z)>.] ~Q ) = [<.y, z>.] ~Q )
52		enqex 5028	. . . . 5 |- ~Q e. V
53		ecexg 4255	. . . . 5 |- ( ~Q e. V -> [<.y, (z +N z)>.] ~Q e. V)
54	52, 53	ax-mp 7	. . . 4 |- [<.y, (z +N z)>.] ~Q e. V
55		opreq12 3961	. . . . . 6 |- ((x = [<.y, (z +N z)>.] ~Q /\ x = [<.y, (z +N z)>.] ~Q ) -> (x +Q x) = ([<.y, (z +N z)>.] ~Q +Q [<.y, (z +N z)>.] ~Q ))
56	55	anidms 434	. . . . 5 |- (x = [<.y, (z +N z)>.] ~Q -> (x +Q x) = ([<.y, (z +N z)>.] ~Q +Q [<.y, (z +N z)>.] ~Q ))
57	56	eqeq1d 1480	. . . 4 |- (x = [<.y, (z +N z)>.] ~Q -> ((x +Q x) = [<.y, z>.