Theorem halfpm6th 5979

Description: One half plus or minus one sixth. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
halfpm6th	|- (((1 / 2) - (1 / 6)) = (1 / 3) /\ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Proof of Theorem halfpm6th

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn 5947	. . . . . . 7 |- 3 e. NN
2	1	nncn 5880	. . . . . 6 |- 3 e. CC
3		ax1cn 5241	. . . . . 6 |- 1 e. CC
4		2cn 5927	. . . . . 6 |- 2 e. CC
5	1	nnne0 5899	. . . . . 6 |- 3 =/= 0
6		2ne0 5937	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
7	2, 2, 3, 4, 5, 6	divmuldiv 5742	. . . . 5 |- ((3 / 3) x. (1 / 2)) = ((3 x. 1) / (3 x. 2))
8	2, 5	divid 5726	. . . . . . 7 |- (3 / 3) = 1
9	8	opreq1i 3956	. . . . . 6 |- ((3 / 3) x. (1 / 2)) = (1 x. (1 / 2))
10		2re 5926	. . . . . . . . 9 |- 2 e. RR
11	10, 6	rereccl 5757	. . . . . . . 8 |- (1 / 2) e. RR
12	11	recn 5286	. . . . . . 7 |- (1 / 2) e. CC
13	12	mulid2 5305	. . . . . 6 |- (1 x. (1 / 2)) = (1 / 2)
14	9, 13	eqtr 1487	. . . . 5 |- ((3 / 3) x. (1 / 2)) = (1 / 2)
15	2	mulid1 5304	. . . . . 6 |- (3 x. 1) = 3
16		3t2e6 5970	. . . . . 6 |- (3 x. 2) = 6
17	15, 16	opreq12i 3958	. . . . 5 |- ((3 x. 1) / (3 x. 2)) = (3 / 6)
18	7, 14, 17	3eqtr3 1495	. . . 4 |- (1 / 2) = (3 / 6)
19	18	opreq1i 3956	. . 3 |- ((1 / 2) - (1 / 6)) = ((3 / 6) - (1 / 6))
20		6re 5931	. . . . 5 |- 6 e. RR
21	20	recn 5286	. . . 4 |- 6 e. CC
22		6pos 5941	. . . . . 6 |- 0 < 6
23	20, 22	gt0ne0i 5591	. . . . 5 |- 6 =/= 0
24		divsubdirt 5731	. . . . 5 |- (((3 e. CC /\ 1 e. CC /\ 6 e. CC) /\ 6 =/= 0) -> ((3 - 1) / 6) = ((3 / 6) - (1 / 6)))
25	23, 24	mpan2 694	. . . 4 |- ((3 e. CC /\ 1 e. CC /\ 6 e. CC) -> ((3 - 1) / 6) = ((3 / 6) - (1 / 6)))
26	2, 3, 21, 25	mp3an 913	. . 3 |- ((3 - 1) / 6) = ((3 / 6) - (1 / 6))
27		df-3 5918	. . . . . . 7 |- 3 = (2 + 1)
28	27	opreq1i 3956	. . . . . 6 |- (3 - 1) = ((2 + 1) - 1)
29		pncant 5369	. . . . . . 7 |- ((2 e. CC /\ 1 e. CC) -> ((2 + 1) - 1) = 2)
30	4, 3, 29	mp2an 695	. . . . . 6 |- ((2 + 1) - 1) = 2
31	28, 30	eqtr 1487	. . . . 5 |- (3 - 1) = 2
32	31	opreq1i 3956	. . . 4 |- ((3 - 1) / 6) = (2 / 6)
33	4	mulid2 5305	. . . . 5 |- (1 x. 2) = 2
34	33, 16	opreq12i 3958	. . . 4 |- ((1 x. 2) / (3 x. 2)) = (2 / 6)
35	4, 6	divid 5726	. . . . . 6 |- (2 / 2) = 1
36	35	opreq2i 3957	. . . . 5 |- ((1 / 3) x. (2 / 2)) = ((1 / 3) x. 1)
37	3, 2, 4, 4, 5, 6	divmuldiv 5742	. . . . 5 |- ((1 / 3) x. (2 / 2)) = ((1 x. 2) / (3 x. 2))
38	2, 5	reccl 5682	. . . . . 6 |- (1 / 3) e. CC
39	38	mulid1 5304	. . . . 5 |- ((1 / 3) x. 1) = (1 / 3)
40	36, 37, 39	3eqtr3 1495	. . . 4 |- ((1 x. 2) / (3 x. 2)) = (1 / 3)
41	32, 34, 40	3eqtr2 1493	. . 3 |- ((3 - 1) / 6) = (1 / 3)
42	19, 26, 41	3eqtr2 1493	. 2 |- ((1 / 2) - (1 / 6)) = (1 / 3)
43	2, 3, 21, 23	divdir 5710	. . . 4 |- ((3 + 1) / 6) = ((3 / 6) + (1 / 6))
44		df-4 5919	. . . . 5 |- 4 = (3 + 1)
45	44	opreq1i 3956	. . . 4 |- (4 / 6) = ((3 + 1) / 6)
46	18	opreq1i 3956	. . . 4 |- ((1 / 2) + (1 / 6)) = ((3 / 6) + (1 / 6))
47	43, 45, 46	3eqtr4r 1498	. . 3 |- ((1 / 2) + (1 / 6)) = (4 / 6)
48		2t2e4 5969	. . . 4 |- (2 x. 2) = 4
49	48, 16	opreq12i 3958	. . 3 |- ((2 x. 2) / (3 x. 2)) = (4 / 6)
50	35	opreq2i 3957	. . . 4 |- ((2 / 3) x. (2 / 2)) = ((2 / 3) x. 1)
51	4, 2, 4, 4, 5, 6	divmuldiv 5742	. . . 4 |- ((2 / 3) x. (2 / 2)) = ((2 x. 2) / (3 x. 2))
52	4, 2, 5	divcl 5679	. . . . 5 |- (2 / 3) e. CC
53	52	mulid1 5304	. . . 4 |- ((2 / 3) x. 1) = (2 / 3)
54	50, 51, 53	3eqtr3 1495	. . 3 |- ((2 x. 2) / (3 x. 2)) = (2 / 3)
55	47, 49, 54	3eqtr2 1493	. 2 |- ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3)
56	42, 55	pm3.2i 285	1 |- (((1 / 2) - (1 / 6)) = (1 / 3) /\ ((1 / 2) + (1 / 6)) = (2 / 3))

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   + caddc 5209   x. cmul 5211   - cmin 5264   / cdiv 5266  2c2 5908  3c3 5909  4c4 5910  6c6 5912

This theorem is referenced by:  cos01bndlem3 7413

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-n 5873  df-2 5917  df-3 5918  df-4 5919  df-5 5920  df-6 5921

Copyright terms: Public domain