Theorem h1de2ctlem 9478

Description: Lemma for h1de2ct 9479.

Hypotheses

Ref	Expression
h1de2.1	|- A e. H~
h1de2.2	|- B e. H~

Assertion

Ref	Expression
h1de2ctlem	|- (A e. (_|_` (_|_` {B})) <-> E.x e. CC A = (x .h B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem h1de2ctlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sneq 2417	. . . . . . . 8 |- (B = 0h -> {B} = {0h})
2	1	fveq2d 3728	. . . . . . 7 |- (B = 0h -> (_|_` {B}) = (_|_` {0h}))
3	2	fveq2d 3728	. . . . . 6 |- (B = 0h -> (_|_` (_|_` {B})) = (_|_` (_|_` {0h})))
4	3	eleq2d 1541	. . . . 5 |- (B = 0h -> (A e. (_|_` (_|_` {B})) <-> A e. (_|_` (_|_` {0h}))))
5		h1de2.1	. . . . . . . 8 |- A e. H~
6	5	elisseti 1818	. . . . . . 7 |- A e. V
7	6	elsnc 2431	. . . . . 6 |- (A e. {0h} <-> A = 0h)
8		hsn0elch 9120	. . . . . . . 8 |- {0h} e. CH
9	8	ococ 9247	. . . . . . 7 |- (_|_` (_|_` {0h})) = {0h}
10	9	eleq2i 1538	. . . . . 6 |- (A e. (_|_` (_|_` {0h})) <-> A e. {0h})
11		h1de2.2	. . . . . . . 8 |- B e. H~
12		ax-hvmul0 8880	. . . . . . . 8 |- (B e. H~ -> (0 .h B) = 0h)
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (0 .h B) = 0h
14	13	eqeq2i 1485	. . . . . 6 |- (A = (0 .h B) <-> A = 0h)
15	7, 10, 14	3bitr4r 184	. . . . 5 |- (A = (0 .h B) <-> A e. (_|_` (_|_` {0h})))
16	4, 15	syl6rbbr 539	. . . 4 |- (B = 0h -> (A = (0 .h B) <-> A e. (_|_` (_|_` {B}))))
17		0cn 5328	. . . . 5 |- 0 e. CC
18		opreq1 3968	. . . . . . 7 |- (x = 0 -> (x .h B) = (0 .h B))
19	18	eqeq2d 1486	. . . . . 6 |- (x = 0 -> (A = (x .h B) <-> A = (0 .h B)))
20	19	rcla4ev 1877	. . . . 5 |- ((0 e. CC /\ A = (0 .h B)) -> E.x e. CC A = (x .h B))
21	17, 20	mpan 695	. . . 4 |- (A = (0 .h B) -> E.x e. CC A = (x .h B))
22	16, 21	syl6bir 215	. . 3 |- (B = 0h -> (A e. (_|_` (_|_` {B})) -> E.x e. CC A = (x .h B)))
23	5, 11	h1de2b 9477	. . . 4 |- (B =/= 0h -> (A e. (_|_` (_|_` {B})) <-> A = (((A .ih B) / (B .ih B)) .h B)))
24		opreq1 3968	. . . . . . . 8 |- (x = ((A .ih B) / (B .ih B)) -> (x .h B) = (((A .ih B) / (B .ih B)) .h B))
25	24	eqeq2d 1486	. . . . . . 7 |- (x = ((A .ih B) / (B .ih B)) -> (A = (x .h B) <-> A = (((A .ih B) / (B .ih B)) .h B)))
26	25	rcla4ev 1877	. . . . . 6 |- ((((A .ih B) / (B .ih B)) e. CC /\ A = (((A .ih B) / (B .ih B)) .h B)) -> E.x e. CC A = (x .h B))
27		his6t 8965	. . . . . . . . 9 |- (B e. H~ -> ((B .ih B) = 0 <-> B = 0h))
28	11, 27	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- ((B .ih B) = 0 <-> B = 0h)
29	28	necon3bii 1598	. . . . . . 7 |- ((B .ih B) =/= 0 <-> B =/= 0h)
30	5, 11	hicl 8948	. . . . . . . 8 |- (A .ih B) e. CC
31	11, 11	hicl 8948	. . . . . . . 8 |- (B .ih B) e. CC
32	30, 31	divclz 5711	. . . . . . 7 |- ((B .ih B) =/= 0 -> ((A .ih B) / (B .ih B)) e. CC)
33	29, 32	sylbir 201	. . . . . 6 |- (B =/= 0h -> ((A .ih B) / (B .ih B)) e. CC)
34	26, 33	sylan 448	. . . . 5 |- ((B =/= 0h /\ A = (((A .ih B) / (B .ih B)) .h B)) -> E.x e. CC A = (x .h B))
35	34	ex 373	. . . 4 |- (B =/= 0h -> (A = (((A .ih B) / (B .ih B)) .h B) -> E.x e. CC A = (x .h B)))
36	23, 35	sylbid 203	. . 3 |- (B =/= 0h -> (A e. (_|_` (_|_` {B})) -> E.x e. CC A = (x .h B)))
37	22, 36	pm2.61ine 1634	. 2 |- (A e. (_|_` (_|_` {B})) -> E.x e. CC A = (x .h B))
38		eleq1 1534	. . . 4 |- (A = (x .h B) -> (A e. (_|_` (_|_` {B})) <-> (x .h B) e. (_|_` (_|_` {B}))))
39		h1did 9474	. . . . . 6 |- (B e. H~ -> B e. (_|_` (_|_` {B})))
40	11, 39	ax-mp 7	. . . . 5 |- B e. (_|_` (_|_` {B}))
41		snssi 2466	. . . . . . . . . 10 |- (B e. H~ -> {B} (_ H~)
42	11, 41	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- {B} (_ H~
43	42	occl 9181	. . . . . . . 8 |- (_|_` {B}) e. CH
44	43	choccl 9185	. . . . . . 7 |- (_|_` (_|_` {B})) e. CH
45	44	chshi 9097	. . . . . 6 |- (_|_` (_|_` {B})) e. SH
46		shmulcltOLD 9088	. . . . . 6 |- ((_|_` (_|_` {B})) e. SH -> ((x e. CC /\ B e. (_|_` (_|_` {B}))) -> (x .h B) e. (_|_` (_|_` {B}))))
47	45, 46	ax-mp 7	. . . . 5 |- ((x e. CC /\ B e. (_|_` (_|_` {B}))) -> (x .h B) e. (_|_` (_|_` {B})))
48	40, 47	mpan2 696	. . . 4 |- (x e. CC -> (x .h B) e. (_|_` (_|_` {B})))
49	38, 48	syl5cbir 211	. . 3 |- (x e. CC -> (A = (x .h B) -> A e. (_|_` (_|_` {B}))))
50	49	r19.23aiv 1743	. 2 |- (E.x e. CC A = (x .h B) -> A e. (_|_` (_|_` {B})))
51	37, 50	impbi 157	1 |- (A e. (_|_` (_|_` {B})) <-> E.x e. CC A = (x .h B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  E.wrex 1646   (_ wss 2047  {csn 2409  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234   / cdiv 5294  H~chil 8788   .h csm 8790  0hc0v 8791   .ih csp 8793  SHcsh 8797  _|_cort 8799

This theorem is referenced by:  h1de2ct 9479

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593  ax-inf2 4625  ax-ac 4744  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvmulass 8877  ax-hvdistr1 8878  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his1 8949  ax-his2 8950  ax-his3 8951  ax-his4 8952  ax-hcompl 9071

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4574  df-r1 4643  df-rank 4644  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-2 5970  df-3 5971  df-4 5972  df-n0 6100  df-z 6136  df-fl 6224  df-q 6256  df-seq1 6308  df-shft 6341  df-ioo 6361  df-uz 6418  df-fz 6468  df-seqz 6533  df-exp 6569  df-sqr 6670  df-re 6751  df-im 6752  df-cj 6753  df-abs 6754  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7592  df-bases 7594  df-topgen 7595  df-cld 7663  df-ntr 7664  df-cls 7665  df-cn 7754  df-cnp 7755  df-haus 7782  df-met 7793  df-bl 7795  df-opn 7796  df-lm 7922  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ims 8220  df-ip 8350  df-ph 8472  df-hnorm 8837  df-hvsub 8840  df-hlim 8841  df-hcau 8842  df-sh 9076  df-ch 9092  df-oc 9124  df-ch0 9125

Copyright terms: Public domain