Theorem h1datom 9421

Description: A 1-dimensional subspace is an atom.

Hypotheses

Ref	Expression
h1datom.1	|- A e. CH
h1datom.2	|- B e. H~

Assertion

Ref	Expression
h1datom	|- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (A = (_|_` (_|_` {B})) \/ A = 0H))

Proof of Theorem h1datom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 2053	. . . . . . . . . 10 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (x e. A -> x e. (_|_` (_|_` {B}))))
2		eqeq1 1473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = (y .h B) -> (x = 0h <-> (y .h B) = 0h))
3		opreq1 3953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y = 0 -> (y .h B) = (0 .h B))
4		h1datom.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- B e. H~
5		ax-hvmul0 8801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (B e. H~ -> (0 .h B) = 0h)
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (0 .h B) = 0h
7	3, 6	syl6eq 1515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y = 0 -> (y .h B) = 0h)
8	2, 7	syl5bir 210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = (y .h B) -> (y = 0 -> x = 0h))
9	8	necon3d 1596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x = (y .h B) -> (x =/= 0h -> y =/= 0))
10	9	adantl 388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. CC /\ x = (y .h B)) -> (x =/= 0h -> y =/= 0))
11		recclt 5684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((y e. CC /\ y =/= 0) -> (1 / y) e. CC)
12		h1datom.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- A e. CH
13	12	chshi 9018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- A e. SH
14		shmulclt 9008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((A e. SH /\ (1 / y) e. CC /\ x e. A) -> ((1 / y) .h x) e. A)
15	13, 14	mp3an1 900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((1 / y) e. CC /\ x e. A) -> ((1 / y) .h x) e. A)
16	15	ex 373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((1 / y) e. CC -> (x e. A -> ((1 / y) .h x) e. A))
17	11, 16	syl 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((y e. CC /\ y =/= 0) -> (x e. A -> ((1 / y) .h x) e. A))
18	17	adantr 389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((y e. CC /\ y =/= 0) /\ x = (y .h B)) -> (x e. A -> ((1 / y) .h x) e. A))
19		opreq2 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (x = (y .h B) -> ((1 / y) .h x) = ((1 / y) .h (y .h B)))
20		ax-hvmulass 8798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((1 / y) e. CC /\ y e. CC /\ B e. H~) -> (((1 / y) x. y) .h B) = ((1 / y) .h (y .h B)))
21	4, 20	mp3an3 902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((1 / y) e. CC /\ y e. CC) -> (((1 / y) x. y) .h B) = ((1 / y) .h (y .h B)))
22		pm3.26 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((y e. CC /\ y =/= 0) -> y e. CC)
23	21, 11, 22	sylanc 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. CC /\ y =/= 0) -> (((1 / y) x. y) .h B) = ((1 / y) .h (y .h B)))
24		recid2t 5699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((y e. CC /\ y =/= 0) -> ((1 / y) x. y) = 1)
25	24	opreq1d 3960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((y e. CC /\ y =/= 0) -> (((1 / y) x. y) .h B) = (1 .h B))
26	23, 25	eqtr3d 1501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((y e. CC /\ y =/= 0) -> ((1 / y) .h (y .h B)) = (1 .h B))
27		ax-hvmulid 8797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (B e. H~ -> (1 .h B) = B)
28	4, 27	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (1 .h B) = B
29	26, 28	syl6eq 1515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((y e. CC /\ y =/= 0) -> ((1 / y) .h (y .h B)) = B)
30	19, 29	sylan9eqr 1521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((y e. CC /\ y =/= 0) /\ x = (y .h B)) -> ((1 / y) .h x) = B)
31	30	eleq1d 1532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((y e. CC /\ y =/= 0) /\ x = (y .h B)) -> (((1 / y) .h x) e. A <-> B e. A))
32	18, 31	sylibd 202	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((y e. CC /\ y =/= 0) /\ x = (y .h B)) -> (x e. A -> B e. A))
33	32	exp31 376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. CC -> (y =/= 0 -> (x = (y .h B) -> (x e. A -> B e. A))))
34	33	com23 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y e. CC -> (x = (y .h B) -> (y =/= 0 -> (x e. A -> B e. A))))
35	34	imp 350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. CC /\ x = (y .h B)) -> (y =/= 0 -> (x e. A -> B e. A)))
36	10, 35	syld 27	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. CC /\ x = (y .h B)) -> (x =/= 0h -> (x e. A -> B e. A)))
37	36	com3r 35	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. A -> ((y e. CC /\ x = (y .h B)) -> (x =/= 0h -> B e. A)))
38	37	exp3a 375	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. A -> (y e. CC -> (x = (y .h B) -> (x =/= 0h -> B e. A))))
39	38	r19.23adv 1738	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. A -> (E.y e. CC x = (y .h B) -> (x =/= 0h -> B e. A)))
40	4	h1de2ct 9395	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. (_|_` (_|_` {B})) <-> E.y e. CC x = (y .h B))
41	39, 40	syl5ib 206	. . . . . . . . . 10 |- (x e. A -> (x e. (_|_` (_|_` {B})) -> (x =/= 0h -> B e. A)))
42	1, 41	sylcom 51	. . . . . . . . 9 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (x e. A -> (x =/= 0h -> B e. A)))
43	42	r19.23adv 1738	. . . . . . . 8 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (E.x e. A x =/= 0h -> B e. A))
44	12	chne0 9291	. . . . . . . 8 |- (A =/= 0H <-> E.x e. A x =/= 0h)
45	43, 44	syl5ib 206	. . . . . . 7 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (A =/= 0H -> B e. A))
46		snssi 2457	. . . . . . . . 9 |- (B e. A -> {B} (_ A)
47		snssi 2457	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. H~ -> {B} (_ H~)
48	4, 47	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- {B} (_ H~
49	12	chssi 9022	. . . . . . . . . 10 |- A (_ H~
50	48, 49	occon2 9078	. . . . . . . . 9 |- ({B} (_ A -> (_|_` (_|_` {B})) (_ (_|_` (_|_` A)))
51	46, 50	syl 10	. . . . . . . 8 |- (B e. A -> (_|_` (_|_` {B})) (_ (_|_` (_|_` A)))
52	12	ococ 9162	. . . . . . . 8 |- (_|_` (_|_` A)) = A
53	51, 52	syl6ss 2097	. . . . . . 7 |- (B e. A -> (_|_` (_|_` {B})) (_ A)
54	45, 53	syl6 22	. . . . . 6 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (A =/= 0H -> (_|_` (_|_` {B})) (_ A))
55	54	anc2li 302	. . . . 5 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (A =/= 0H -> (A (_ (_|_` (_|_` {B})) /\ (_|_` (_|_` {B})) (_ A)))
56		eqss 2067	. . . . 5 |- (A = (_|_` (_|_` {B})) <-> (A (_ (_|_` (_|_` {B})) /\ (_|_` (_|_` {B})) (_ A))
57	55, 56	syl6ibr 213	. . . 4 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (A =/= 0H -> A = (_|_` (_|_` {B}))))
58		df-ne 1579	. . . 4 |- (A =/= 0H <-> -. A = 0H)
59	57, 58	syl5ibr 207	. . 3 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (-. A = 0H -> A = (_|_` (_|_` {B}))))
60	59	necon1ad 1623	. 2 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (A =/= (_|_` (_|_` {B})) -> A = 0H))
61		neor 1630	. 2 |- ((A = (_|_` (_|_` {B})) \/ A = 0H) <-> (A =/= (_|_` (_|_` {B})) -> A = 0H))
62	60, 61	sylibr 200	1 |- (A (_ (_|_` (_|_` {B})) -> (A = (_|_` (_|_` {B})) \/ A = 0H))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   =/= wne 1577  E.wrex 1638   (_ wss 2037  {csn 2399  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  CCcc 5204  0cc0 5206  1c1 5207   x. cmul 5211   / cdiv 5266  H~chil 8727   .h csm 8729  0hc0v 8730  SHcsh 8736  CHcch 8737  _|_cort 8738  0Hc0h 8743

This theorem is referenced by:  h1datomt 9422

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-reg 4565  ax-inf2 4597  ax-ac 4716  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvmulass 8798  ax-hvdistr1 8799  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873  ax-hcompl 8992

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-iin 2559  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-r1 4615  df-rank 4616  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq