Theorem gtndivt 6193

Description: A larger number does not divide a smaller natural number.

Assertion

Ref	Expression
gtndivt	|- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> -. (B / A) e. ZZ)

Proof of Theorem gtndivt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 6146	. . 3 |- 0 e. ZZ
2		btwnnzt 6192	. . 3 |- ((0 e. ZZ /\ 0 < (B / A) /\ (B / A) < (0 + 1)) -> -. (B / A) e. ZZ)
3	1, 2	mp3an1 903	. 2 |- ((0 < (B / A) /\ (B / A) < (0 + 1)) -> -. (B / A) e. ZZ)
4		divgt0t 5855	. . 3 |- (((B e. RR /\ 0 < B) /\ (A e. RR /\ 0 < A)) -> 0 < (B / A))
5		nnret 5929	. . . 4 |- (B e. NN -> B e. RR)
6	5	3ad2ant2 801	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> B e. RR)
7		nngt0t 5946	. . . 4 |- (B e. NN -> 0 < B)
8	7	3ad2ant2 801	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> 0 < B)
9		3simp1 788	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> A e. RR)
10	7	adantl 388	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN) -> 0 < B)
11		0re 5440	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
12		axlttrn 5504	. . . . . . . 8 |- ((0 e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
13	11, 12	mp3an1 903	. . . . . . 7 |- ((B e. RR /\ A e. RR) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
14	13, 5	sylan 448	. . . . . 6 |- ((B e. NN /\ A e. RR) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
15	14	ancoms 436	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN) -> ((0 < B /\ B < A) -> 0 < A))
16	10, 15	mpand 701	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. NN) -> (B < A -> 0 < A))
17	16	3impia 830	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> 0 < A)
18	4, 6, 8, 9, 17	syl2anc 472	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> 0 < (B / A))
19		3simp3 790	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> B < A)
20		1re 5435	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
21		ltdivmul2tOLD 5871	. . . . . . 7 |- (((B e. RR /\ A e. RR /\ 1 e. RR) /\ 0 < A) -> ((B / A) < 1 <-> B < (1 x. A)))
22	20, 21	mp3anl3 912	. . . . . 6 |- (((B e. RR /\ A e. RR) /\ 0 < A) -> ((B / A) < 1 <-> B < (1 x. A)))
23	6, 9	jca 288	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B e. RR /\ A e. RR))
24	22, 23, 17	sylanc 471	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> ((B / A) < 1 <-> B < (1 x. A)))
25		recnt 5313	. . . . . . . 8 |- (A e. RR -> A e. CC)
26		mulid2t 5417	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (1 x. A) = A)
27	25, 26	syl 10	. . . . . . 7 |- (A e. RR -> (1 x. A) = A)
28	27	breq2d 2630	. . . . . 6 |- (A e. RR -> (B < (1 x. A) <-> B < A))
29	28	3ad2ant1 800	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B < (1 x. A) <-> B < A))
30	24, 29	bitrd 528	. . . 4 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> ((B / A) < 1 <-> B < A))
31	19, 30	mpbird 196	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B / A) < 1)
32		ax1cn 5269	. . . 4 |- 1 e. CC
33	32	addid2 5331	. . 3 |- (0 + 1) = 1
34	31, 33	syl6breqr 2655	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> (B / A) < (0 + 1))
35	3, 18, 34	sylanc 471	1 |- ((A e. RR /\ B e. NN /\ B < A) -> -. (B / A) e. ZZ)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   class class class wbr 2619  (class class class)co 3963  CCcc 5232  RRcr 5233  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   / cdiv 5294  NNcn 5296  ZZcz 5298   < clt 5486

This theorem is referenced by:  primet 6195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-div 5703  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136

Copyright terms: Public domain