Theorem grpcl 8044

Description: Closure law for a group operation.

Hypothesis

Ref	Expression
grpfo.1	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
grpcl	|- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)

Proof of Theorem grpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		foprrn 4035	. 2 |- ((G:(X X. X)-->X /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)
2		grpfo.1	. . . 4 |- X = ran G
3	2	grpfo 8043	. . 3 |- (G e. Grp -> G:(X X. X)-onto->X)
4		fof 3672	. . 3 |- (G:(X X. X)-onto->X -> G:(X X. X)-->X)
5	3, 4	syl 10	. 2 |- (G e. Grp -> G:(X X. X)-->X)
6	1, 5	syl3an1 859	1 |- ((G e. Grp /\ A e. X /\ B e. X) -> (AGB) e. X)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ w3a 775   = wceq 956   e. wcel 958   X. cxp 3168  ran crn 3171  -->wf 3178  -onto->wfo 3180  (class class class)co 3963  Grpcgr 8033

This theorem is referenced by:  grpidinvlem2 8049  grpidinvlem3 8050  grpinvop 8080  grpdivf 8085  grpmuldivass 8088  grppnpcan2 8092  grplactf1o 8098  abl4 8105  ghgrpilem3 8135  ghgrpilem4 8136  ghsubgi 8138  ringgcl 8152  vcgcl 8178  nvgcl 8239  ghomgrpilem2 10386  ghomsn 10388  ghomf1olem 10396  cayleylem2 10410

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-opr 3965  df-grp 8037

Copyright terms: Public domain