Theorem grothinf 8776

Description: Grothendieck's Axiom implies the Axiom of Infinity (in the form of omex 4636). Note that our proof does not depend on the Axiom of Infinity.

Assertion

Ref	Expression
grothinf	|- om e. V

Proof of Theorem grothinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-groth 8772	. . . 4 |- E.y(x e. y /\ A.w e. y (A.z(z (_ w -> z e. y) /\ E.z e. y A.v(v (_ w -> v e. z)) /\ A.w(w (_ y -> (w ~~ y \/ w e. y)))
2		ssid 2083	. . . . . . . . . . . 12 |- w (_ w
3		sseq1 2085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v = w -> (v (_ w <-> w (_ w))
4		elequ1 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v = w -> (v e. z <-> w e. z))
5	3, 4	imbi12d 628	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v = w -> ((v (_ w -> v e. z) <-> (w (_ w -> w e. z)))
6	5	a4v 1274	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.v(v (_ w -> v e. z) -> (w (_ w -> w e. z))
7	2, 6	mpi 44	. . . . . . . . . . 11 |- (A.v(v (_ w -> v e. z) -> w e. z)
8	7	r19.22si 1737	. . . . . . . . . 10 |- (E.z e. y A.v(v (_ w -> v e. z) -> E.z e. y w e. z)
9	8	adantl 390	. . . . . . . . 9 |- ((A.z(z (_ w -> z e. y) /\ E.z e. y A.v(v (_ w -> v e. z)) -> E.z e. y w e. z)
10	9	r19.20si 1709	. . . . . . . 8 |- (A.w e. y (A.z(z (_ w -> z e. y) /\ E.z e. y A.v(v (_ w -> v e. z)) -> A.w e. y E.z e. y w e. z)
11		elequ1 1138	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = x -> (w e. z <-> x e. z))
12	11	rexbidv 1667	. . . . . . . . . . 11 |- (w = x -> (E.z e. y w e. z <-> E.z e. y x e. z))
13		df-rex 1653	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.z e. y x e. z <-> E.z(z e. y /\ x e. z))
14		exancom 1056	. . . . . . . . . . . 12 |- (E.z(z e. y /\ x e. z) <-> E.z(x e. z /\ z e. y))
15	13, 14	bitr 173	. . . . . . . . . . 11 |- (E.z e. y x e. z <-> E.z(x e. z /\ z e. y))
16	12, 15	syl6bb 538	. . . . . . . . . 10 |- (w = x -> (E.z e. y w e. z <-> E.z(x e. z /\ z e. y)))
17	16	cbvralv 1803	. . . . . . . . 9 |- (A.w e. y E.z e. y w e. z <-> A.x e. y E.z(x e. z /\ z e. y))
18		df-ral 1652	. . . . . . . . 9 |- (A.x e. y E.z(x e. z /\ z e. y) <-> A.x(x e. y -> E.z(x e. z /\ z e. y)))
19	17, 18	bitr 173	. . . . . . . 8 |- (A.w e. y E.z e. y w e. z <-> A.x(x e. y -> E.z(x e. z /\ z e. y)))
20	10, 19	sylib 198	. . . . . . 7 |- (A.w e. y (A.z(z (_ w -> z e. y) /\ E.z e. y A.v(v (_ w -> v e. z)) -> A.x(x e. y -> E.z(x e. z /\ z e. y)))
21	20	anim2i 335	. . . . . 6 |- ((x e. y /\ A.w e. y (A.z(z (_ w -> z e. y) /\ E.z e. y A.v(v (_ w -> v e. z))) -> (x e. y /\ A.x(x e. y -> E.z(x e. z /\ z e. y))))
22	21	3adant3 801	. . . . 5 |- ((x e. y /\ A.w e. y (A.z(z (_ w -> z e. y) /\ E.z e. y A.v(v (_ w -> v e. z)) /\ A.w(w (_ y -> (w ~~ y \/ w e. y))) -> (x e. y /\ A.x(x e. y -> E.z(x e. z /\ z e. y))))
23	22	19.22i 1042	. . . 4 |- (E.y(x e. y /\ A.w e. y (A.z(z (_ w -> z e. y) /\ E.z e. y A.v(v (_ w -> v e. z)) /\ A.w(w (_ y -> (w ~~ y \/ w e. y))) -> E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.z(x e. z /\ z e. y))))
24	1, 23	ax-mp 7	. . 3 |- E.y(x e. y /\ A.x(x e. y -> E.z(x e. z /\ z e. y)))
25	24	inf2 4617	. 2 |- E.y(y =/= (/) /\ y (_ U.y)
26	25	inf3 4629	1 |- om e. V

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 777  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  A.wral 1648  E.wrex 1649  Vcvv 1814   (_ wss 2050   class class class wbr 2624  omcom 3137   ~~ cen 4370

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-groth 8772

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fv 3204  df-rdg 3938

Copyright terms: Public domain