Theorem genpss 5107

Description: The result of an operation on positive reals is a subset of the positive fractions.

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	|- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
genpss.2	|- ((g e. Q. /\ h e. Q.) -> (gGh) e. Q.)

Assertion

Ref	Expression
genpss	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) (_ Q.)

Distinct variable groups:   x,y,z,g,h,A   x,B,y,z,g,h   x,w,v,u,G,y,z,g,h   g,F

Proof of Theorem genpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genp.1	. . . . 5 |- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
2	1	genpv 5102	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) = {f | E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh))})
3	2	abeq2d 1572	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) <-> E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh))))
4		prpssnq 5094	. . . . . . . . . 10 |- (A e. P. -> A (. Q.)
5	4	pssssd 2144	. . . . . . . . 9 |- (A e. P. -> A (_ Q.)
6	5	sseld 2067	. . . . . . . 8 |- (A e. P. -> (g e. A -> g e. Q.))
7		prpssnq 5094	. . . . . . . . . 10 |- (B e. P. -> B (. Q.)
8	7	pssssd 2144	. . . . . . . . 9 |- (B e. P. -> B (_ Q.)
9	8	sseld 2067	. . . . . . . 8 |- (B e. P. -> (h e. B -> h e. Q.))
10	6, 9	im2anan9 563	. . . . . . 7 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((g e. A /\ h e. B) -> (g e. Q. /\ h e. Q.)))
11		genpss.2	. . . . . . 7 |- ((g e. Q. /\ h e. Q.) -> (gGh) e. Q.)
12	10, 11	syl6 22	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((g e. A /\ h e. B) -> (gGh) e. Q.))
13		eleq1a 1543	. . . . . 6 |- ((gGh) e. Q. -> (f = (gGh) -> f e. Q.))
14	12, 13	syl6 22	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((g e. A /\ h e. B) -> (f = (gGh) -> f e. Q.)))
15	14	imp3a 361	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) -> f e. Q.))
16	15	19.23advv 1297	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.gE.h((g e. A /\ h e. B) /\ f = (gGh)) -> f e. Q.))
17	3, 16	sylbid 203	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> f e. Q.))
18	17	ssrdv 2070	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) (_ Q.)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  {cab 1463  E.wrex 1646   (_ wss 2047  (class class class)co 3963  {copab2 3964  Q.cnq 4979  P.cnp 4985

This theorem is referenced by:  genpcl 5111

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-qs 4266  df-ni 5000  df-nq 5038  df-np 5086

Copyright terms: Public domain