Theorem genpelv 5115

Description: Membership in value of general operation (addition or multiplication) on positive reals.

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	|- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
genpelv.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
genpelv	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (C e. (AFB) <-> E.fE.g((f e. A /\ g e. B) /\ C = (fGg))))

Distinct variable groups:   x,y,z,f,g,A   x,B,y,z,f,g   x,w,v,u,G,y,z,f,g   f,F,g   C,f,g

Proof of Theorem genpelv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genp.1	. . . 4 |- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
2	1	genpv 5114	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) = {h | E.fE.g((f e. A /\ g e. B) /\ h = (fGg))})
3	2	eleq2d 1544	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (C e. (AFB) <-> C e. {h | E.fE.g((f e. A /\ g e. B) /\ h = (fGg))}))
4		genpelv.2	. . 3 |- C e. V
5		eqeq1 1484	. . . . 5 |- (h = C -> (h = (fGg) <-> C = (fGg)))
6	5	anbi2d 618	. . . 4 |- (h = C -> (((f e. A /\ g e. B) /\ h = (fGg)) <-> ((f e. A /\ g e. B) /\ C = (fGg))))
7	6	2exbidv 1283	. . 3 |- (h = C -> (E.fE.g((f e. A /\ g e. B) /\ h = (fGg)) <-> E.fE.g((f e. A /\ g e. B) /\ C = (fGg))))
8	4, 7	elab 1900	. 2 |- (C e. {h | E.fE.g((f e. A /\ g e. B) /\ h = (fGg))} <-> E.fE.g((f e. A /\ g e. B) /\ C = (fGg)))
9	3, 8	syl6bb 538	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (C e. (AFB) <-> E.fE.g((f e. A /\ g e. B) /\ C = (fGg))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  {cab 1466  E.wrex 1649  Vcvv 1814  (class class class)co 3969  {copab2 3970  P.cnp 4997

This theorem is referenced by:  genpcd 5121  genpass 5124  distrlem1pr 5139  distrlem5pr 5143  1idpr 5145  ltexprlem6 5159  reclem3pr 5170  reclem4pr 5171

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204  df-opr 3971  df-oprab 3972

Copyright terms: Public domain