Theorem genpcl 5123

Description: Closure of an operation on reals.

Hypotheses

Ref	Expression
genp.1	|- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
genpcl.2	|- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> (xGy) e. Q.)
genpcl.3	|- (h e. Q. -> (f <Q g <-> (hGf) <Q (hGg)))
genpcl.4	|- (xGy) = (yGx)
genpcl.5	|- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ x e. Q.) -> (x <Q (gGh) -> x e. (AFB)))

Assertion

Ref	Expression
genpcl	|- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) e. P.)

Distinct variable groups:   x,y,z,f,g,h,A   x,B,y,z,f,g,h,w,v   x,u,G   y,w,v,u,G,z,f,g,h   f,F,g   w,A,v   w,B,v   x,F,y,w,v,h

Proof of Theorem genpcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		genp.1	. . . . 5 |- F = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (yGz)})}
2	1	genpn0 5118	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (/) (. (AFB))
3		genpcl.2	. . . . . . . 8 |- ((x e. Q. /\ y e. Q.) -> (xGy) e. Q.)
4	3	caoprcl 4058	. . . . . . 7 |- ((g e. Q. /\ h e. Q.) -> (gGh) e. Q.)
5	1, 4	genpss 5119	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) (_ Q.)
6	3	caoprcl 4058	. . . . . . 7 |- ((w e. Q. /\ v e. Q.) -> (wGv) e. Q.)
7		visset 1816	. . . . . . . 8 |- x e. V
8		visset 1816	. . . . . . . 8 |- y e. V
9		genpcl.3	. . . . . . . 8 |- (h e. Q. -> (f <Q g <-> (hGf) <Q (hGg)))
10	7, 8, 9	caoprord 4062	. . . . . . 7 |- (z e. Q. -> (x <Q y <-> (zGx) <Q (zGy)))
11		genpcl.4	. . . . . . 7 |- (xGy) = (yGx)
12	1, 6, 10, 11	genpnnp 5120	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> -. (AFB) = Q.)
13	5, 12	jca 288	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((AFB) (_ Q. /\ -. (AFB) = Q.))
14		dfpss2 2136	. . . . 5 |- ((AFB) (. Q. <-> ((AFB) (_ Q. /\ -. (AFB) = Q.))
15	13, 14	sylibr 200	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) (. Q.)
16	2, 15	jca 288	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((/) (. (AFB) /\ (AFB) (. Q.))
17		genpcl.5	. . . . . . 7 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ x e. Q.) -> (x <Q (gGh) -> x e. (AFB)))
18	1, 17	genpcd 5121	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> (x <Q f -> x e. (AFB))))
19	18	19.21adv 1290	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> A.x(x <Q f -> x e. (AFB))))
20		visset 1816	. . . . . . . 8 |- z e. V
21		visset 1816	. . . . . . . 8 |- w e. V
22	20, 21, 9	caoprord 4062	. . . . . . 7 |- (v e. Q. -> (z <Q w <-> (vGz) <Q (vGw)))
23	20, 21, 11	caoprcom 4059	. . . . . . 7 |- (zGw) = (wGz)
24	1, 22, 23	genpnmax 5122	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> E.x(x e. (AFB) /\ f <Q x)))
25		df-rex 1653	. . . . . 6 |- (E.x e. (AFB)f <Q x <-> E.x(x e. (AFB) /\ f <Q x))
26	24, 25	syl6ibr 213	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> E.x e. (AFB)f <Q x))
27	19, 26	jcad 602	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (f e. (AFB) -> (A.x(x <Q f -> x e. (AFB)) /\ E.x e. (AFB)f <Q x)))
28	27	r19.21aiv 1716	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> A.f e. (AFB)(A.x(x <Q f -> x e. (AFB)) /\ E.x e. (AFB)f <Q x))
29	16, 28	jca 288	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (((/) (. (AFB) /\ (AFB) (. Q.) /\ A.f e. (AFB)(A.x(x <Q f -> x e. (AFB)) /\ E.x e. (AFB)f <Q x)))
30		elnp 5104	. 2 |- ((AFB) e. P. <-> (((/) (. (AFB) /\ (AFB) (. Q.) /\ A.f e. (AFB)(A.x(x <Q f -> x e. (AFB)) /\ E.x e. (AFB)f <Q x)))
31	29, 30	sylibr 200	1 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (AFB) e. P.)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  {cab 1466  A.wral 1648  E.wrex 1649   (_ wss 2050   (. wpss 2051  (/)c0 2283   class class class wbr 2624  (class class class)co 3969  {copab2 3970  Q.cnq 4991   <Q cltq 4996  P.cnp 4997

This theorem is referenced by:  addclpr 5132  mulclpr 5134

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-mi 5014  df-lti 5015  df-enq 5049  df-nq 5050  df-ltq 5054  df-np 5098

Copyright terms: Public domain