Theorem fzrevral2t 6521

Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers.

Assertion

Ref	Expression
fzrevral2t	|- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (A.j e. ((K - N)...(K - M))ph <-> A.k e. (M...N)[(K - k) / j]ph))

Distinct variable groups:   j,k,K   j,M,k   j,N,k   ph,k

Proof of Theorem fzrevral2t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzrevralt 6520	. . . 4 |- (((K - N) e. ZZ /\ (K - M) e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (A.j e. ((K - N)...(K - M))ph <-> A.k e. ((K - (K - M))...(K - (K - N)))[(K - k) / j]ph))
2		zsubclt 6170	. . . . 5 |- ((K e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K - N) e. ZZ)
3	2	3adant2 800	. . . 4 |- ((K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K - N) e. ZZ)
4		zsubclt 6170	. . . . 5 |- ((K e. ZZ /\ M e. ZZ) -> (K - M) e. ZZ)
5	4	3adant3 801	. . . 4 |- ((K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (K - M) e. ZZ)
6		3simp1 790	. . . 4 |- ((K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> K e. ZZ)
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 860	. . 3 |- ((K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (A.j e. ((K - N)...(K - M))ph <-> A.k e. ((K - (K - M))...(K - (K - N)))[(K - k) / j]ph))
8		nncant 5481	. . . . . . 7 |- ((K e. CC /\ M e. CC) -> (K - (K - M)) = M)
9	8	3adant3 801	. . . . . 6 |- ((K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC) -> (K - (K - M)) = M)
10		nncant 5481	. . . . . . 7 |- ((K e. CC /\ N e. CC) -> (K - (K - N)) = N)
11	10	3adant2 800	. . . . . 6 |- ((K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC) -> (K - (K - N)) = N)
12	9, 11	opreq12d 3984	. . . . 5 |- ((K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC) -> ((K - (K - M))...(K - (K - N))) = (M...N))
13		zcnt 6142	. . . . 5 |- (K e. ZZ -> K e. CC)
14		zcnt 6142	. . . . 5 |- (M e. ZZ -> M e. CC)
15		zcnt 6142	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> N e. CC)
16	12, 13, 14, 15	syl3an 870	. . . 4 |- ((K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> ((K - (K - M))...(K - (K - N))) = (M...N))
17	16	raleq1d 1792	. . 3 |- ((K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (A.k e. ((K - (K - M))...(K - (K - N)))[(K - k) / j]ph <-> A.k e. (M...N)[(K - k) / j]ph))
18	7, 17	bitrd 530	. 2 |- ((K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (A.j e. ((K - N)...(K - M))ph <-> A.k e. (M...N)[(K - k) / j]ph))
19	18	3coml 842	1 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (A.j e. ((K - N)...(K - M))ph <-> A.k e. (M...N)[(K - k) / j]ph))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  [wsbc 1172  A.wral 1648  (class class class)co 3969  CCcc 5244   - cmin 5304  ZZcz 5310  ...cfz 6468

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-fz 6469

Copyright terms: Public domain