Theorem fzoptht 6434

Description: A finite set of sequential integers can represent an ordered pair.

Assertion

Ref	Expression
fzoptht	|- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. A) -> ((M...N) = (J...K) <-> (M = J /\ N = K)))

Proof of Theorem fzoptht

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 1527	. . . . . 6 |- ((M...N) = (J...K) -> (N e. (M...N) <-> N e. (J...K)))
2		eluzfz2t 6421	. . . . . 6 |- (N e. (ZZ>` M) -> N e. (M...N))
3	1, 2	syl5bi 208	. . . . 5 |- ((M...N) = (J...K) -> (N e. (ZZ>` M) -> N e. (J...K)))
4	3	anim1d 558	. . . 4 |- ((M...N) = (J...K) -> ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. A) -> (N e. (J...K) /\ K e. A)))
5		elfzuz2t 6418	. . . . 5 |- ((K e. A /\ N e. (J...K)) -> K e. (ZZ>` J))
6	5	ancoms 436	. . . 4 |- ((N e. (J...K) /\ K e. A) -> K e. (ZZ>` J))
7	4, 6	syl6com 53	. . 3 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. A) -> ((M...N) = (J...K) -> K e. (ZZ>` J)))
8		eleq2 1527	. . . . . . . . . . . 12 |- ((M...N) = (J...K) -> (J e. (M...N) <-> J e. (J...K)))
9		eluzfz1t 6419	. . . . . . . . . . . 12 |- (K e. (ZZ>` J) -> J e. (J...K))
10	8, 9	syl5bir 210	. . . . . . . . . . 11 |- ((M...N) = (J...K) -> (K e. (ZZ>` J) -> J e. (M...N)))
11		elfzle1 6415	. . . . . . . . . . 11 |- (J e. (M...N) -> M <_ J)
12	10, 11	syl6com 53	. . . . . . . . . 10 |- (K e. (ZZ>` J) -> ((M...N) = (J...K) -> M <_ J))
13	12	adantl 388	. . . . . . . . 9 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> M <_ J))
14		eleq2 1527	. . . . . . . . . . . 12 |- ((M...N) = (J...K) -> (M e. (M...N) <-> M e. (J...K)))
15		eluzfz1t 6419	. . . . . . . . . . . 12 |- (N e. (ZZ>` M) -> M e. (M...N))
16	14, 15	syl5bi 208	. . . . . . . . . . 11 |- ((M...N) = (J...K) -> (N e. (ZZ>` M) -> M e. (J...K)))
17		elfzle1 6415	. . . . . . . . . . 11 |- (M e. (J...K) -> J <_ M)
18	16, 17	syl6com 53	. . . . . . . . . 10 |- (N e. (ZZ>` M) -> ((M...N) = (J...K) -> J <_ M))
19	18	adantr 389	. . . . . . . . 9 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> J <_ M))
20	13, 19	jcad 598	. . . . . . . 8 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> (M <_ J /\ J <_ M)))
21		letri3t 5490	. . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ J e. RR) -> (M = J <-> (M <_ J /\ J <_ M)))
22		eluzel2 6356	. . . . . . . . . 10 |- (N e. (ZZ>` M) -> M e. ZZ)
23		zret 6086	. . . . . . . . . 10 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
24	22, 23	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>` M) -> M e. RR)
25		eluzel2 6356	. . . . . . . . . 10 |- (K e. (ZZ>` J) -> J e. ZZ)
26		zret 6086	. . . . . . . . . 10 |- (J e. ZZ -> J e. RR)
27	25, 26	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (K e. (ZZ>` J) -> J e. RR)
28	21, 24, 27	syl2an 454	. . . . . . . 8 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> (M = J <-> (M <_ J /\ J <_ M)))
29	20, 28	sylibrd 204	. . . . . . 7 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> M = J))
30		elfzle2 6416	. . . . . . . . . 10 |- (N e. (J...K) -> N <_ K)
31	3, 30	syl6com 53	. . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>` M) -> ((M...N) = (J...K) -> N <_ K))
32		eleq2 1527	. . . . . . . . . . 11 |- ((M...N) = (J...K) -> (K e. (M...N) <-> K e. (J...K)))
33		eluzfz2t 6421	. . . . . . . . . . 11 |- (K e. (ZZ>` J) -> K e. (J...K))
34	32, 33	syl5bir 210	. . . . . . . . . 10 |- ((M...N) = (J...K) -> (K e. (ZZ>` J) -> K e. (M...N)))
35		elfzle2 6416	. . . . . . . . . 10 |- (K e. (M...N) -> K <_ N)
36	34, 35	syl6com 53	. . . . . . . . 9 |- (K e. (ZZ>` J) -> ((M...N) = (J...K) -> K <_ N))
37	31, 36	anim12ii 557	. . . . . . . 8 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> (N <_ K /\ K <_ N)))
38		letri3t 5490	. . . . . . . . 9 |- ((N e. RR /\ K e. RR) -> (N = K <-> (N <_ K /\ K <_ N)))
39		eluzelz 6355	. . . . . . . . . 10 |- (N e. (ZZ>` M) -> N e. ZZ)
40		zret 6086	. . . . . . . . . 10 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
41	39, 40	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (N e. (ZZ>` M) -> N e. RR)
42		eluzelz 6355	. . . . . . . . . 10 |- (K e. (ZZ>` J) -> K e. ZZ)
43		zret 6086	. . . . . . . . . 10 |- (K e. ZZ -> K e. RR)
44	42, 43	syl 10	. . . . . . . . 9 |- (K e. (ZZ>` J) -> K e. RR)
45	38, 41, 44	syl2an 454	. . . . . . . 8 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> (N = K <-> (N <_ K /\ K <_ N)))
46	37, 45	sylibrd 204	. . . . . . 7 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> N = K))
47	29, 46	jcad 598	. . . . . 6 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. (ZZ>` J)) -> ((M...N) = (J...K) -> (M = J /\ N = K)))
48	47	ex 373	. . . . 5 |- (N e. (ZZ>` M) -> (K e. (ZZ>` J) -> ((M...N) = (J...K) -> (M = J /\ N = K))))
49	48	com23 32	. . . 4 |- (N e. (ZZ>` M) -> ((M...N) = (J...K) -> (K e. (ZZ>` J) -> (M = J /\ N = K))))
50	49	adantr 389	. . 3 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. A) -> ((M...N) = (J...K) -> (K e. (ZZ>` J) -> (M = J /\ N = K))))
51	7, 50	mpdd 46	. 2 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. A) -> ((M...N) = (J...K) -> (M = J /\ N = K)))
52		opreq12 3955	. 2 |- ((M = J /\ N = K) -> (M...N) = (J...K))
53	51, 52	impbid1 515	1 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. A) -> ((M...N) = (J...K) <-> (M = J /\ N = K)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  RRcr 5205   <_ cle 5267  ZZcz 5270  ZZ>cuz 6349  ...cfz 6399

This theorem is referenced by:  dffsum 6936

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-enr 5138  df-nr 5139  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-lt 5219  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-z 6083  df-uz 6350  df-fz 6400

Copyright terms: Public domain