Theorem fznt 6425

Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed.

Assertion

Ref	Expression
fznt	|- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (N < M <-> (M...N) = (/)))

Proof of Theorem fznt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenltt 5482	. . . 4 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (M <_ N <-> -. N < M))
2		zret 6086	. . . 4 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
3		zret 6086	. . . 4 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
4	1, 2, 3	syl2an 454	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M <_ N <-> -. N < M))
5		eluz2t 6353	. . . . . . 7 |- (N e. (ZZ>` M) <-> (M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N))
6		eluzfz1t 6419	. . . . . . 7 |- (N e. (ZZ>` M) -> M e. (M...N))
7	5, 6	sylbir 201	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> M e. (M...N))
8		n0i 2275	. . . . . 6 |- (M e. (M...N) -> -. (M...N) = (/))
9	7, 8	syl 10	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M <_ N) -> -. (M...N) = (/))
10	9	3expia 833	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M <_ N -> -. (M...N) = (/)))
11		elfzle3 6417	. . . . . . . 8 |- ((N e. ZZ /\ k e. (M...N)) -> M <_ N)
12	11	ex 373	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> (k e. (M...N) -> M <_ N))
13	12	19.23adv 1209	. . . . . 6 |- (N e. ZZ -> (E.k k e. (M...N) -> M <_ N))
14		n0 2279	. . . . . 6 |- (-. (M...N) = (/) <-> E.k k e. (M...N))
15	13, 14	syl5ib 206	. . . . 5 |- (N e. ZZ -> (-. (M...N) = (/) -> M <_ N))
16	15	adantl 388	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (-. (M...N) = (/) -> M <_ N))
17	10, 16	impbid 514	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M <_ N <-> -. (M...N) = (/)))
18	4, 17	bitr3d 528	. 2 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (-. N < M <-> -. (M...N) = (/)))
19	18	con4bid 522	1 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (N < M <-> (M...N) = (/)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 773   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  (/)c0 2270   class class class wbr 2609  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  RRcr 5205   <_ cle 5267  ZZcz 5270   < clt 5458  ZZ>cuz 6349  ...cfz 6399

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-enr 5138  df-nr 5139  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-lt 5219  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-z 6083  df-uz 6350  df-fz 6400

Copyright terms: Public domain