Theorem fzaddelt 6440

Description: Membership of a sum in a finite set of sequential integers.

Assertion

Ref	Expression
fzaddelt	|- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (J e. ZZ /\ K e. ZZ)) -> (J e. (M...N) <-> (J + K) e. ((M + K)...(N + K))))

Proof of Theorem fzaddelt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zaddclt 6120	. . . . . 6 |- ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (J + K) e. ZZ)
2	1	a1d 12	. . . . 5 |- ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (J e. ZZ -> (J + K) e. ZZ))
3		pm3.26 319	. . . . . 6 |- ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> J e. ZZ)
4	3	a1d 12	. . . . 5 |- ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> ((J + K) e. ZZ -> J e. ZZ))
5	2, 4	impbid 515	. . . 4 |- ((J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (J e. ZZ <-> (J + K) e. ZZ))
6	5	adantl 388	. . 3 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (J e. ZZ /\ K e. ZZ)) -> (J e. ZZ <-> (J + K) e. ZZ))
7		leadd1t 5607	. . . . . 6 |- ((M e. RR /\ J e. RR /\ K e. RR) -> (M <_ J <-> (M + K) <_ (J + K)))
8		zret 6094	. . . . . 6 |- (M e. ZZ -> M e. RR)
9		zret 6094	. . . . . 6 |- (J e. ZZ -> J e. RR)
10		zret 6094	. . . . . 6 |- (K e. ZZ -> K e. RR)
11	7, 8, 9, 10	syl3an 867	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (M <_ J <-> (M + K) <_ (J + K)))
12	11	3expb 833	. . . 4 |- ((M e. ZZ /\ (J e. ZZ /\ K e. ZZ)) -> (M <_ J <-> (M + K) <_ (J + K)))
13	12	adantlr 393	. . 3 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (J e. ZZ /\ K e. ZZ)) -> (M <_ J <-> (M + K) <_ (J + K)))
14		leadd1t 5607	. . . . . . 7 |- ((J e. RR /\ N e. RR /\ K e. RR) -> (J <_ N <-> (J + K) <_ (N + K)))
15		zret 6094	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> N e. RR)
16	14, 9, 15, 10	syl3an 867	. . . . . 6 |- ((J e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (J <_ N <-> (J + K) <_ (N + K)))
17	16	3com12 836	. . . . 5 |- ((N e. ZZ /\ J e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (J <_ N <-> (J + K) <_ (N + K)))
18	17	3expb 833	. . . 4 |- ((N e. ZZ /\ (J e. ZZ /\ K e. ZZ)) -> (J <_ N <-> (J + K) <_ (N + K)))
19	18	adantll 392	. . 3 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (J e. ZZ /\ K e. ZZ)) -> (J <_ N <-> (J + K) <_ (N + K)))
20	6, 13, 19	3anbi123d 891	. 2 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (J e. ZZ /\ K e. ZZ)) -> ((J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N) <-> ((J + K) e. ZZ /\ (M + K) <_ (J + K) /\ (J + K) <_ (N + K))))
21		elfz1t 6410	. . 3 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (J e. (M...N) <-> (J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N)))
22	21	adantr 389	. 2 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (J e. ZZ /\ K e. ZZ)) -> (J e. (M...N) <-> (J e. ZZ /\ M <_ J /\ J <_ N)))
23		elfz1t 6410	. . . . 5 |- (((M + K) e. ZZ /\ (N + K) e. ZZ) -> ((J + K) e. ((M + K)...(N + K)) <-> ((J + K) e. ZZ /\ (M + K) <_ (J + K) /\ (J + K) <_ (N + K))))
24		zaddclt 6120	. . . . 5 |- ((M e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (M + K) e. ZZ)
25		zaddclt 6120	. . . . 5 |- ((N e. ZZ /\ K e. ZZ) -> (N + K) e. ZZ)
26	23, 24, 25	syl2an 454	. . . 4 |- (((M e. ZZ /\ K e. ZZ) /\ (N e. ZZ /\ K e. ZZ)) -> ((J + K) e. ((M + K)...(N + K)) <-> ((J + K) e. ZZ /\ (M + K) <_ (J + K) /\ (J + K) <_ (N + K))))
27	26	anandirs 513	. . 3 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K e. ZZ) -> ((J + K) e. ((M + K)...(N + K)) <-> ((J + K) e. ZZ /\ (M + K) <_ (J + K) /\ (J + K) <_ (N + K))))
28	27	adantrl 394	. 2 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (J e. ZZ /\ K e. ZZ)) -> ((J + K) e. ((M + K)...(N + K)) <-> ((J + K) e. ZZ /\ (M + K) <_ (J + K) /\ (J + K) <_ (N + K))))
29	20, 22, 28	3bitr4d 549	1 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ (J e. ZZ /\ K e. ZZ)) -> (J e. (M...N) <-> (J + K) e. ((M + K)...(N + K))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   e. wcel 956   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  RRcr 5213   + caddc 5217   <_ cle 5275  ZZcz 5278  ...cfz 6407

This theorem is referenced by:  fzsubelt 6441

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091  df-fz 6408

Copyright terms: Public domain