Theorem fvsn 3800

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member.

Hypotheses

Ref	Expression
fvsn.1	|- A e. V
fvsn.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
fvsn	|- ({<.A, B>.}` A) = B

Proof of Theorem fvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsn.1	. . 3 |- A e. V
2		fvsn.2	. . 3 |- B e. V
3	1, 2	funsn 3549	. 2 |- Fun {<.A, B>.}
4		opex 2788	. . 3 |- <.A, B>. e. V
5	4	snid 2439	. 2 |- <.A, B>. e. {<.A, B>.}
6	2	funopfv 3757	. 2 |- (Fun {<.A, B>.} -> (<.A, B>. e. {<.A, B>.} -> ({<.A, B>.}` A) = B))
7	3, 5, 6	mp2 43	1 |- ({<.A, B>.}` A) = B

Syntax hints:   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  {csn 2413  <.cop 2415  Fun wfun 3182  ` cfv 3188

This theorem is referenced by:  fvsnun1 3801  fopabsn 3846  mapsnen 4435  grpsn 8120  ringsn 8159  1ded 10642  1cat 10663

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain