Theorem fvprc 3727

Description: A function's value at a proper class is the empty set.

Assertion

Ref	Expression
fvprc	|- (-. A e. V -> (F` A) = (/))

Proof of Theorem fvprc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1816	. . . . . . . . 9 |- x e. V
2	1	snnz 2462	. . . . . . . 8 |- {x} =/= (/)
3		df-ne 1590	. . . . . . . 8 |- ({x} =/= (/) <-> -. {x} = (/))
4	2, 3	mpbi 189	. . . . . . 7 |- -. {x} = (/)
5		snprc 2447	. . . . . . . . . . 11 |- (-. A e. V <-> {A} = (/))
6		imaeq2 3408	. . . . . . . . . . 11 |- ({A} = (/) -> (F"{A}) = (F"(/)))
7	5, 6	sylbi 199	. . . . . . . . . 10 |- (-. A e. V -> (F"{A}) = (F"(/)))
8		ima0 3426	. . . . . . . . . 10 |- (F"(/)) = (/)
9	7, 8	syl6eq 1526	. . . . . . . . 9 |- (-. A e. V -> (F"{A}) = (/))
10	9	eqeq1d 1486	. . . . . . . 8 |- (-. A e. V -> ((F"{A}) = {x} <-> (/) = {x}))
11		eqcom 1480	. . . . . . . 8 |- ((/) = {x} <-> {x} = (/))
12	10, 11	syl6bb 538	. . . . . . 7 |- (-. A e. V -> ((F"{A}) = {x} <-> {x} = (/)))
13	4, 12	mtbiri 719	. . . . . 6 |- (-. A e. V -> -. (F"{A}) = {x})
14	13	nexdv 1328	. . . . 5 |- (-. A e. V -> -. E.x(F"{A}) = {x})
15		abn0 2294	. . . . . 6 |- ({x | (F"{A}) = {x}} =/= (/) <-> E.x(F"{A}) = {x})
16	15	necon1bbii 1620	. . . . 5 |- (-. E.x(F"{A}) = {x} <-> {x | (F"{A}) = {x}} = (/))
17	14, 16	sylib 198	. . . 4 |- (-. A e. V -> {x | (F"{A}) = {x}} = (/))
18	17	unieqd 2516	. . 3 |- (-. A e. V -> U.{x | (F"{A}) = {x}} = U.(/))
19		df-fv 3204	. . 3 |- (F` A) = U.{x | (F"{A}) = {x}}
20	18, 19	syl5eq 1522	. 2 |- (-. A e. V -> (F` A) = U.(/))
21		uni0 2529	. 2 |- U.(/) = (/)
22	20, 21	syl6eq 1526	1 |- (-. A e. V -> (F` A) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  E.wex 982  {cab 1466   =/= wne 1588  Vcvv 1814  (/)c0 2283  {csn 2413  U.cuni 2507  "cima 3179  ` cfv 3188

This theorem is referenced by:  tz6.12-2 3745  ndmfv 3751  fvopabn 3792  1stval 4087  2ndval 4088  rankon 4681  ranklim 4695  r1pwcl 4697  rankuni 4708  cardval 4836  card1 4843  sdomsdomcard 4859  cardidm 4860  vafval 8218  bafval 8219  smfval 8220  0vfval 8221  vsfval 8250  domval 10626  codval 10627  idval 10628  cmpval 10629

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain