Theorem fvopabs 3792

Description: The value of a function given by an ordered-pair class abstraction, using class substitution.

Hypotheses

Ref	Expression
fvopabs.1	|- A e. V
fvopabs.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
fvopabs	|- ({<.x, y>. | y = B}` A) = [_A / x]_B

Distinct variable groups:   x,A   y,B   x,y

Proof of Theorem fvopabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-17 971	. 2 |- (z e. A -> A.x z e. A)
2		fvopabs.1	. . 3 |- A e. V
3	2, 1	hbcsb1 2025	. 2 |- (z e. [_A / x]_B -> A.x z e. [_A / x]_B)
4		fvopabs.2	. . 3 |- B e. V
5	2, 4	csbex 2009	. 2 |- [_A / x]_B e. V
6		csbeq1a 2006	. 2 |- (x = A -> B = [_A / x]_B)
7	1, 3, 2, 5, 6	fvopabf 3789	1 |- ({<.x, y>. | y = B}` A) = [_A / x]_B

Syntax hints:   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  [_csb 2001  {copab 2666  ` cfv 3182

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain