Theorem fvopabn 3771

Description: This somewhat non-intuitive theorem tells us the value of its function is the empty set when the class C it would otherwise map to is a proper class. This is a technical lemma that can help eliminate redundant sethood antecedents otherwise required by fvopabg 3770.

Hypothesis

Ref	Expression
fvopabn.1	|- (x = A -> B = C)

Assertion

Ref	Expression
fvopabn	|- (-. C e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,C,y

Proof of Theorem fvopabn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1804	. . . . . . . . . . 11 |- z e. V
2	1	snnz 2449	. . . . . . . . . 10 |- {z} =/= (/)
3		df-ne 1579	. . . . . . . . . 10 |- ({z} =/= (/) <-> -. {z} = (/))
4	2, 3	mpbi 189	. . . . . . . . 9 |- -. {z} = (/)
5		opeq1 2478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z = A -> <.z, w>. = <.A, w>.)
6	5	eleq1d 1532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (z = A -> (<.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B} <-> <.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
7	6	ceqsexgv 1879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (A e. V -> (E.z(z = A /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> <.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
8		elsn 2411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (z e. {A} <-> z = A)
9	8	anbi1i 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> (z = A /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
10	9	exbii 1047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> E.z(z = A /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
11	7, 10	syl5bb 530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. V -> (E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> <.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B}))
12		visset 1804	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. V
13		fvopabn.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = A -> B = C)
14	13	eqeq2d 1478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = A -> (y = B <-> y = C))
15		eqeq1 1473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y = w -> (y = C <-> w = C))
16	14, 15	opelopabg 2806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. V /\ w e. V) -> (<.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B} <-> w = C))
17	12, 16	mpan2 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. V -> (<.A, w>. e. {<.x, y>. | y = B} <-> w = C))
18	11, 17	bitrd 526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. V -> (E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B}) <-> w = C))
19	18	abbidv 1569	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. V -> {w | E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B})} = {w | w = C})
20		eleq1 1526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w = C -> (w e. V <-> C e. V))
21	12, 20	mpbii 193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w = C -> C e. V)
22	21	19.23aiv 1290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (E.w w = C -> C e. V)
23	22	con3i 98	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. C e. V -> -. E.w w = C)
24		abn0 2280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ({w | w = C} =/= (/) <-> E.w w = C)
25	24	necon1bbii 1609	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (-. E.w w = C <-> {w | w = C} = (/))
26	23, 25	sylib 198	. . . . . . . . . . . . 13 |- (-. C e. V -> {w | w = C} = (/))
27	19, 26	sylan9eq 1519	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> {w | E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B})} = (/))
28		dfima3 3390	. . . . . . . . . . . 12 |- ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {w | E.z(z e. {A} /\ <.z, w>. e. {<.x, y>. | y = B})}
29	27, 28	syl5eq 1511	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = (/))
30	29	eqeq1d 1475	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> (({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z} <-> (/) = {z}))
31		eqcom 1469	. . . . . . . . . 10 |- ((/) = {z} <-> {z} = (/))
32	30, 31	syl6bb 534	. . . . . . . . 9 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> (({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z} <-> {z} = (/)))
33	4, 32	mtbiri 715	. . . . . . . 8 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> -. ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z})
34	33	nexdv 1321	. . . . . . 7 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> -. E.z({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z})
35		abn0 2280	. . . . . . . 8 |- ({z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} =/= (/) <-> E.z({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z})
36	35	necon1bbii 1609	. . . . . . 7 |- (-. E.z({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z} <-> {z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} = (/))
37	34, 36	sylib 198	. . . . . 6 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> {z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} = (/))
38	37	unieqd 2502	. . . . 5 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> U.{z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}} = U.(/))
39		df-fv 3188	. . . . 5 |- ({<.x, y>. | y = B}` A) = U.{z | ({<.x, y>. | y = B}"{A}) = {z}}
40	38, 39	syl5eq 1511	. . . 4 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = U.(/))
41		uni0 2515	. . . 4 |- U.(/) = (/)
42	40, 41	syl6eq 1515	. . 3 |- ((A e. V /\ -. C e. V) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))
43	42	ex 373	. 2 |- (A e. V -> (-. C e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/)))
44		fvprc 3706	. . 3 |- (-. A e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))
45	44	a1d 12	. 2 |- (-. A e. V -> (-. C e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/)))
46	43, 45	pm2.61i 126	1 |- (-. C e. V -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  E.wex 977  {cab 1456   =/= wne 1577  Vcvv 1802  (/)c0 2270  {csn 2399  <.cop 2401  U.cuni 2493  {copab 2656  "cima 3163  ` cfv 3172

This theorem is referenced by:  fvopabnf 3773

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-xp 3174  df-cnv 3176  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fv 3188

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