Theorem fvopabg 3785

Description: The value of a function given by ordered-pair class abstraction.

Hypothesis

Ref	Expression
fvopabg.1	|- (x = A -> B = C)

Assertion

Ref	Expression
fvopabg	|- ((A e. D /\ C e. R) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = C)

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B   x,C,y

Proof of Theorem fvopabg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvopabg.1	. . 3 |- (x = A -> B = C)
2		visset 1813	. . . . 5 |- x e. V
3	2	biantrur 725	. . . 4 |- (y = B <-> (x e. V /\ y = B))
4	3	opabbii 2671	. . 3 |- {<.x, y>. | y = B} = {<.x, y>. | (x e. V /\ y = B)}
5	1, 4	fvopab4g 3779	. 2 |- ((A e. V /\ C e. R) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = C)
6		elisset 1817	. 2 |- (A e. D -> A e. V)
7	5, 6	sylan 448	1 |- ((A e. D /\ C e. R) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = C)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  {copab 2666  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  fvopabgf 3787  1stval 4081  2ndval 4082  tz9.12lem3 4661  oncardval 4819  cardval 4826  limsupvalt 6529  bafval 8223  findabrcl 10418

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain