Theorem fvopabf 3795

Description: The value of a function given by ordered-pair class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fvopabf.1	|- (z e. A -> A.x z e. A)
fvopabf.2	|- (z e. C -> A.x z e. C)
fvopabf.3	|- A e. V
fvopabf.4	|- C e. V
fvopabf.5	|- (x = A -> B = C)

Assertion

Ref	Expression
fvopabf	|- ({<.x, y>. | y = B}` A) = C

Distinct variable groups:   z,A   y,B   z,C   x,y   x,z

Proof of Theorem fvopabf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvopabf.3	. 2 |- A e. V
2		fvopabf.4	. 2 |- C e. V
3		fvopabf.1	. . 3 |- (z e. A -> A.x z e. A)
4		fvopabf.2	. . 3 |- (z e. C -> A.x z e. C)
5		fvopabf.5	. . 3 |- (x = A -> B = C)
6	3, 4, 5	fvopabgf 3793	. 2 |- ((A e. V /\ C e. V) -> ({<.x, y>. | y = B}` A) = C)
7	1, 2, 6	mp2an 699	1 |- ({<.x, y>. | y = B}` A) = C

Syntax hints:   -> wi 3  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  {copab 2671  ` cfv 3188

This theorem is referenced by:  fvopab 3796  fvopabs 3798  seq1lem1 6310

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain