Theorem fveqres 3749

Description: Equal values imply equal values in a restriction.

Assertion

Ref	Expression
fveqres	|- ((F` A) = (G` A) -> ((F |` B)` A) = ((G |` B)` A))

Proof of Theorem fveqres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 3734	. . . 4 |- (A e. B -> ((F |` B)` A) = (F` A))
2		fvres 3734	. . . 4 |- (A e. B -> ((G |` B)` A) = (G` A))
3	1, 2	eqeq12d 1489	. . 3 |- (A e. B -> (((F |` B)` A) = ((G |` B)` A) <-> (F` A) = (G` A)))
4	3	biimprd 154	. 2 |- (A e. B -> ((F` A) = (G` A) -> ((F |` B)` A) = ((G |` B)` A)))
5		nfvres 3748	. . . 4 |- (-. A e. B -> ((F |` B)` A) = (/))
6		nfvres 3748	. . . 4 |- (-. A e. B -> ((G |` B)` A) = (/))
7	5, 6	eqtr4d 1510	. . 3 |- (-. A e. B -> ((F |` B)` A) = ((G |` B)` A))
8	7	a1d 12	. 2 |- (-. A e. B -> ((F` A) = (G` A) -> ((F |` B)` A) = ((G |` B)` A)))
9	4, 8	pm2.61i 126	1 |- ((F` A) = (G` A) -> ((F |` B)` A) = ((G |` B)` A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  (/)c0 2280   |` cres 3172  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  fvresex 3857

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain