Theorem fvco 3765

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28.

Assertion

Ref	Expression
fvco	|- ((Fun F /\ Fun G /\ A e. dom G) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A)))

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmfco 3764	. . . . . . . . 9 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (A e. dom ( F o. G) <-> (G` A) e. dom F))
2	1	anbi2d 615	. . . . . . . 8 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((Fun F /\ A e. dom ( F o. G)) <-> (Fun F /\ (G` A) e. dom F)))
3		fvex 3723	. . . . . . . . . . . 12 |- (F` (G` A)) e. V
4		opelcog 3285	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. dom G /\ (F` (G` A)) e. V) -> (<.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F)))
5	3, 4	mpan2 695	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. dom G -> (<.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F)))
6	5	adantl 388	. . . . . . . . . 10 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (<.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F)))
7		visset 1809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. V
8	7	funopfvb 3747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((G` A) = z <-> <.A, z>. e. G))
9		eqcom 1474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z = (G` A) <-> (G` A) = z)
10	8, 9	syl5bb 531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (z = (G` A) <-> <.A, z>. e. G))
11	10	anbi1d 616	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((z = (G` A) /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F) <-> (<.A, z>. e. G /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F)))
12	11	exbidv 1277	. . . . . . . . . . 11 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (E.z(z = (G` A) /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F) <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F)))
13		fvex 3723	. . . . . . . . . . . 12 |- (G` A) e. V
14		opeq1 2483	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = (G` A) -> <.z, (F` (G` A))>. = <.(G` A), (F` (G` A))>.)
15	14	eleq1d 1537	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = (G` A) -> (<.z, (F` (G` A))>. e. F <-> <.(G` A), (F` (G` A))>. e. F))
16	13, 15	ceqsexv 1831	. . . . . . . . . . 11 |- (E.z(z = (G` A) /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F) <-> <.(G` A), (F` (G` A))>. e. F)
17	12, 16	syl5bbr 533	. . . . . . . . . 10 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (<.(G` A), (F` (G` A))>. e. F <-> E.z(<.A, z>. e. G /\ <.z, (F` (G` A))>. e. F)))
18	6, 17	bitr4d 530	. . . . . . . . 9 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (<.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G) <-> <.(G` A), (F` (G` A))>. e. F))
19		eqid 1473	. . . . . . . . . 10 |- (F` (G` A)) = (F` (G` A))
20	3	funopfvb 3747	. . . . . . . . . 10 |- ((Fun F /\ (G` A) e. dom F) -> ((F` (G` A)) = (F` (G` A)) <-> <.(G` A), (F` (G` A))>. e. F))
21	19, 20	mpbii 193	. . . . . . . . 9 |- ((Fun F /\ (G` A) e. dom F) -> <.(G` A), (F` (G` A))>. e. F)
22	18, 21	syl5bir 210	. . . . . . . 8 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((Fun F /\ (G` A) e. dom F) -> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))
23	2, 22	sylbid 203	. . . . . . 7 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> ((Fun F /\ A e. dom ( F o. G)) -> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))
24	23	exp4b 379	. . . . . 6 |- (Fun G -> (A e. dom G -> (Fun F -> (A e. dom ( F o. G) -> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))))
25	24	com3r 35	. . . . 5 |- (Fun F -> (Fun G -> (A e. dom G -> (A e. dom ( F o. G) -> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))))
26	25	3imp1 845	. . . 4 |- (((Fun F /\ Fun G /\ A e. dom G) /\ A e. dom ( F o. G)) -> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G))
27	3	funopfvb 3747	. . . . . 6 |- ((Fun (F o. G) /\ A e. dom ( F o. G)) -> (((F o. G)` A) = (F` (G` A)) <-> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))
28		funco 3542	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ Fun G) -> Fun (F o. G))
29	27, 28	sylan 448	. . . . 5 |- (((Fun F /\ Fun G) /\ A e. dom ( F o. G)) -> (((F o. G)` A) = (F` (G` A)) <-> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))
30	29	3adantl3 804	. . . 4 |- (((Fun F /\ Fun G /\ A e. dom G) /\ A e. dom ( F o. G)) -> (((F o. G)` A) = (F` (G` A)) <-> <.A, (F` (G` A))>. e. (F o. G)))
31	26, 30	mpbird 196	. . 3 |- (((Fun F /\ Fun G /\ A e. dom G) /\ A e. dom ( F o. G)) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A)))
32	31	ex 373	. 2 |- ((Fun F /\ Fun G /\ A e. dom G) -> (A e. dom ( F o. G) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A))))
33		ndmfv 3736	. . . . . 6 |- (-. A e. dom ( F o. G) -> ((F o. G)` A) = (/))
34	33	adantl 388	. . . . 5 |- (((Fun G /\ A e. dom G) /\ -. A e. dom ( F o. G)) -> ((F o. G)` A) = (/))
35	1	negbid 610	. . . . . . 7 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (-. A e. dom ( F o. G) <-> -. (G` A) e. dom F))
36		ndmfv 3736	. . . . . . 7 |- (-. (G` A) e. dom F -> (F` (G` A)) = (/))
37	35, 36	syl6bi 214	. . . . . 6 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (-. A e. dom ( F o. G) -> (F` (G` A)) = (/)))
38	37	imp 350	. . . . 5 |- (((Fun G /\ A e. dom G) /\ -. A e. dom ( F o. G)) -> (F` (G` A)) = (/))
39	34, 38	eqtr4d 1507	. . . 4 |- (((Fun G /\ A e. dom G) /\ -. A e. dom ( F o. G)) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A)))
40	39	ex 373	. . 3 |- ((Fun G /\ A e. dom G) -> (-. A e. dom ( F o. G) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A))))
41	40	3adant1 796	. 2 |- ((Fun F /\ Fun G /\ A e. dom G) -> (-. A e. dom ( F o. G) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A))))
42	32, 41	pm2.61d 127	1 |- ((Fun F /\ Fun G /\ A e. dom G) -> ((F o. G)` A) = (F` (G` A)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  Vcvv 1807  (/)c0 2276  <.cop 2407  dom cdm 3165   o. ccom 3169  Fun wfun 3171  ` cfv 3177

This theorem is referenced by:  fvco2 3766  fopabco 3823  fopabcos 3824  ac6lem 4734  uzrdgval 6247  cnpco 7719  cnmetdval 7854  vsfval 8206  imsdval 8268  hoco 9630  adjbdlnb 9955

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-sep 2698  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-v 1808  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-op 2412  df-uni 2499  df-br 2615  df-opab 2662  df-id 2830  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-fv 3193

Copyright terms: Public domain