Theorem funssfv 3741

Description: The value of a member of the domain of a subclass of a function.

Assertion

Ref	Expression
funssfv	|- ((Fun F /\ G (_ F /\ A e. dom G) -> (F` A) = (G` A))

Proof of Theorem funssfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 3740	. . . 4 |- (A e. dom G -> ((F |` dom G)` A) = (F` A))
2	1	eqcomd 1483	. . 3 |- (A e. dom G -> (F` A) = ((F |` dom G)` A))
3		funssres 3558	. . . 4 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> (F |` dom G) = G)
4	3	fveq1d 3732	. . 3 |- ((Fun F /\ G (_ F) -> ((F |` dom G)` A) = (G` A))
5	2, 4	sylan9eqr 1532	. 2 |- (((Fun F /\ G (_ F) /\ A e. dom G) -> (F` A) = (G` A))
6	5	3impa 830	1 |- ((Fun F /\ G (_ F /\ A e. dom G) -> (F` A) = (G` A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   (_ wss 2050  dom cdm 3176   |` cres 3178  Fun wfun 3182  ` cfv 3188

This theorem is referenced by:  tfrlem9 3925  tfrlem11 3927  sspn 8391

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fv 3204

Copyright terms: Public domain