Theorem funss 3530

Description: Subclass theorem for function predicate.

Assertion

Ref	Expression
funss	|- (A (_ B -> (Fun B -> Fun A))

Proof of Theorem funss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relss 3242	. . . 4 |- (A (_ B -> (Rel B -> Rel A))
2		funrel 3529	. . . 4 |- (Fun B -> Rel B)
3	1, 2	syl5 21	. . 3 |- (A (_ B -> (Fun B -> Rel A))
4		ssel 2060	. . . . . . . 8 |- (A (_ B -> (<.x, y>. e. A -> <.x, y>. e. B))
5	4	imim1d 28	. . . . . . 7 |- (A (_ B -> ((<.x, y>. e. B -> y = z) -> (<.x, y>. e. A -> y = z)))
6	5	19.20dv 1288	. . . . . 6 |- (A (_ B -> (A.y(<.x, y>. e. B -> y = z) -> A.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
7	6	19.22dv 1289	. . . . 5 |- (A (_ B -> (E.zA.y(<.x, y>. e. B -> y = z) -> E.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
8	7	19.20dv 1288	. . . 4 |- (A (_ B -> (A.xE.zA.y(<.x, y>. e. B -> y = z) -> A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
9		dffun5 3525	. . . . 5 |- (Fun B <-> (Rel B /\ A.xE.zA.y(<.x, y>. e. B -> y = z)))
10	9	pm3.27bi 326	. . . 4 |- (Fun B -> A.xE.zA.y(<.x, y>. e. B -> y = z))
11	8, 10	syl5 21	. . 3 |- (A (_ B -> (Fun B -> A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
12	3, 11	jcad 599	. 2 |- (A (_ B -> (Fun B -> (Rel A /\ A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z))))
13		dffun5 3525	. 2 |- (Fun A <-> (Rel A /\ A.xE.zA.y(<.x, y>. e. A -> y = z)))
14	12, 13	syl6ibr 213	1 |- (A (_ B -> (Fun B -> Fun A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 953   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979   (_ wss 2044  <.cop 2408  Rel wrel 3171  Fun wfun 3172

This theorem is referenced by:  funeq 3531  fun0 3540  funres 3547  funcnvcnv 3551  funres11 3563  fodom 4781  cmpfun 10421

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-sep 2699  ax-pow 2738  ax-pr 2775

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-v 1809  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-nul 2278  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-op 2413  df-br 2616  df-opab 2663  df-id 2831  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-fun 3188

Copyright terms: Public domain