Theorem funsn 3543

Description: A singleton of an ordered pair is a function. Theorem 10.5 of [Quine] p. 65.

Hypotheses

Ref	Expression
funsn.1	|- A e. V
funsn.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
funsn	|- Fun {<.A, B>.}

Proof of Theorem funsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun4 3528	. 2 |- (Fun {<.A, B>.} <-> (Rel {<.A, B>.} /\ A.xA.yA.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)))
2		funsn.1	. . 3 |- A e. V
3	2	relsn 3254	. 2 |- Rel {<.A, B>.}
4		eqtr3t 1494	. . . . 5 |- ((y = B /\ z = B) -> y = z)
5		opex 2782	. . . . . . 7 |- <.x, y>. e. V
6	5	elsnc 2431	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, y>. = <.A, B>.)
7		visset 1813	. . . . . . 7 |- y e. V
8		funsn.2	. . . . . . 7 |- B e. V
9	7, 8	opth2 2800	. . . . . 6 |- (<.x, y>. = <.A, B>. -> y = B)
10	6, 9	sylbi 199	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. {<.A, B>.} -> y = B)
11		opex 2782	. . . . . . 7 |- <.x, z>. e. V
12	11	elsnc 2431	. . . . . 6 |- (<.x, z>. e. {<.A, B>.} <-> <.x, z>. = <.A, B>.)
13		visset 1813	. . . . . . 7 |- z e. V
14	13, 8	opth2 2800	. . . . . 6 |- (<.x, z>. = <.A, B>. -> z = B)
15	12, 14	sylbi 199	. . . . 5 |- (<.x, z>. e. {<.A, B>.} -> z = B)
16	4, 10, 15	syl2an 454	. . . 4 |- ((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)
17	16	ax-gen 963	. . 3 |- A.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)
18	17	gen2 983	. 2 |- A.xA.yA.z((<.x, y>. e. {<.A, B>.} /\ <.x, z>. e. {<.A, B>.}) -> y = z)
19	1, 3, 18	mpbir2an 730	1 |- Fun {<.A, B>.}

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  Vcvv 1811  {csn 2409  <.cop 2411  Rel wrel 3175  Fun wfun 3176

This theorem is referenced by:  fun0 3544  f1osn 3719  fvsn 3794  tfrlem10 3920  ringsn 8163  1alg 10654

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-fun 3192

Copyright terms: Public domain